ラグランジュの未定乗数法

上野竜生です。条件g(x,y)=0のもとでの最大・最小問題を求める方法を述べます。ただし証明などをいれると普通の数学書を読んでるのと変わらないのでここでは具体的な問題が解ける程度にまで解説します。

ラグランジュの未定乗数法

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今回考える問題

g(x,y)=0のもとでのf(x,y)の最大・最小を求める。

このときH(x,y;λ)=f(x,y)-λg(x,y)とおきます。(λも未知数だと思ってください。λの前は別にセミコロンでなくても普通の「,」でいいです)

Hをxで偏微分した関数Hx(x,y;λ)=0
Hをyで偏微分した関数Hy(x,y;λ)=0
Hをλで偏微分した関数Hλ(x,y;λ)=-g(x,y)=0←制約条件
これらの3つを連立させて得られる(x,y)が極値を与える点の候補
あとはそれらの中でf(x,y)が最大・最小になる点を選べばよい。

変数がx,y,zになっても同様です。

例題で確認してみよう

x2+y2=1のときx+yの最大・最小値を求めよ。

ラグランジュの未定乗数法を使わなくてもx=cosθ,y=sinθとおき三角関数の合成を使えば最大が\( \sqrt{2}\),最小が\(-\sqrt{2}\)であることがわかります。ですが一致することを確認したいのでラグランジュの未定乗数法で解きましょう。

答えH(x,y,λ)=x+y-λ(x2+y2-1)とおく。

Hx(x,y,λ)=1-2xλ=0
Hy(x,y,λ)=1-2yλ=0
Hλ(x,y,λ)=-(x2+y2-1)=0
これらを連立させる。λ=0だと1つめの式を満たさないのでλ≠0
よって\( x=y=\frac{1}{2\lambda} \)となり3つめの式に代入すれば

\( (x,y,\lambda)=(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) \)(複号同順)となる。
\( f(\pm \frac{1}{\sqrt2} , \pm \frac{1}{\sqrt2})=\pm \sqrt{2} \)(複号同順)より
最大値は\( \sqrt2 \),最小値は\( -\sqrt2 \)

となり一致しました。とりあえずこういう計算でできるということを知っておきましょう。

制約条件が不等式だったら・・・?

例題2:x2+y2≦1のときf(x,y)=x2-x+3y2の最大・最小を求めよ

方針は制約条件が「左辺=1」だとして最大・最小を求めた後,
制約条件なしの普通の最大最小を求めて,最大最小となる点が制約条件を満たすか確認し,さらに「左辺=1」の最大最小とどちらが大きいか比較することで解けます。

答えH(x,y,λ)=x2-x+3y2-λ(x2+y2-1)とおく。

Hx=2x-1-2xλ=0
Hy=6y-2yλ=0

Hλ=-(x2+y2-1)=0

これらを連立させる。2つめの式よりy=0またはλ=3

y=0のときx=±1

λ=3のとき\(x=-\frac14 , y=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}\)

\( f(1,0)=0 , f(-1,0)=2\\
f(-\frac14, \frac{\sqrt{15}}{4})=\frac{25}{8} , f(-\frac14, -\frac{\sqrt{15}}{4})=\frac{25}{8} \)

円周上では最大値\( \frac{25}{8} \),最小値0

円の内部を考える。

fx=2x-1=0 , fy=6y=0より点\((\frac{1}{2},0)\)が極値の候補。
(\((x,y)=(-\frac12,0)\)は\(x^2+y^2 \leq 1\)を満たす)

\( f(\frac12,0)=-\frac{1}{4} \)よりこちらのほうが小さく,最小である。

よって最大値は\( \frac{25}{8} \),最小値は\( -\frac{1}{4}\)

極値の候補が極大なのか極小なのか調べてませんが最大・最小なのでこれでいいでしょう。

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