上野竜生です。

宝くじの確率の計算などをやってみようと思います。ただしここでは一般論を考えてみたいと思います。

宝くじの確率・期待値

 

まずは比較的シンプルな場合

1等 x1 確率p1
2等 x2 確率p2
ハズレ 0円 1-p1-p2

こんな極端な宝くじはあまりみかけませんが2種類の当たりがあるパターンで計算すれば3種類でも4種類でも同様にできるのでまずは2種類の当たりで考えてみます。

この宝くじの平均(期待値)はx1p1+x2p2(円)ですね。

分散を求めるため,まずは二乗平均を考えるとその結果は
\( x_1^2 p_1+x_2^2 p_2 \)となります。よって分散
\( x_1^2 p_1+x_2^2 p_2 -( x_1p_1+x_2p_2)^2 \)となり,これに平方根を付けたものが標準偏差となるわけです。

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2枚買った時

単純に計算します。

  • 2枚とも1等:2x1円で確率p12
  • 1枚が1等,もう1枚が2等:x1+x2円で確率2p1p2
  • 2枚とも2等:2x2円で確率p22
  • 1枚が1等,残りはハズレ:x1円で確率2p1(1-p1-p2)
  • 1枚が2等,残りはハズレ:x2円で確率2p2(1-p1-p2)
  • 残りは0円です。

これらより平均(期待値)は

\( 2x_1p_1^2 + 2(x_1+x_2)p_1p_2+2x_2p_2^2+2x_1p_1(1-p_1-p_2)+2x_2p_2(1-p_1-p_2)\\=2x_1p_1+2x_2p_2 \)

で1枚のときのちょうど2倍。2乗平均

\( 4x_1^2p_1^2+2(x_1+x_2)^2p_1p_2+4x_2^2p_2^2+2x_1^2p_1(1-p_1-p_2)+2x_2^2p_2(1-p_1-p_2)\\=2x_1^2p_1^2+4x_1x_2p_1p_2+2x_2^2p_2^2+2x_1^2p_1+2x_2^2p_2 \)

よって分散

\( (2x_1^2p_1^2+4x_1x_2p_1p_2+2x_2^2p_2^2+2x_1^2p_1+2x_2^2p_2)\\-(4x_1^2p_1^2+8x_1x_2p_1p_2+4x_2^2p_2^2)\\=-2x_1^2p_1^2-4x_1x_2p_1p_2-2x_2^2p_2^2+2x_1^2p_1+2x_2^2p_2\)

となりこれも1枚の時のちょうど2倍。よって標準偏差は\( \sqrt{2} \)倍です。

これは当たりが2種類でなくてもいえることです。よってn枚買ったときの平均はn倍,分散はn倍,標準偏差は\(\sqrt{n}\)倍になります。

これはつまり,nを大きくするとだんだんズレが少なくなることを意味します。(普通1枚でσずれるならn枚でnσずれるべきなのに\(\sqrt{n}\sigma \)しかズレないため)

 

最近の宝くじは1枚300円で売られている場合,平均は130~150程度,標準偏差は150000~200000程度です。

仮に平均150,標準偏差15万としてn枚買うと,平均150n,標準偏差15万√nなので

儲けの期待値は150n-300n(購入金額)=-150n,標準偏差は15万√nです。

n=1,2,ぐらいでは実感がわかないかもしれませんがn=100万枚買ってみると

儲けの期待値(の絶対値)と標準偏差が同じになります。ということはかなり大損ですね。

単純に全パターン買えば確実に大損なのでこれだけ言いたいのならこんな複雑な計算はいらないのですが・・・

100万とまでいかなくてもn=100やn=10でもすでに損をしています。

宝くじを10枚買わないと夢がないという人もいるようですが宝くじは買えば買うほど安定して損をするというのが結論になります。

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