ヤコビ行列・ヤコビアンの計算方法

上野竜生です。積分計算でヤコビ行列を計算する必要があるといいました。その計算方法をまとめておきます。

ヤコビ行列・ヤコビアン計算方法

なお重積分の計算についてはこちらからご覧いただけます。(リンク先のページでは円の極座標変換のヤコビアンがrであることをとりあえず認めて解説していて、ヤコビアンの解説はこのページで理解するように誘導しています)
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基本計算

(x,y)で積分するところを(u,v)で積分するように変換したとする。つまり、
\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array} \right.\end{eqnarray} \)という変数変換をしたとする。このときのヤコビ行列Jは次のとおりであり、ヤコビアンとはヤコビ行列の行列式の絶対値である。
$$ J=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} $$

ちなみに3変数でも同様です。つまり、x=x(u,v,w) , y=y(u,v,w) , z=z(u,v,w)で変数変換したときのヤコビ行列は

$$ \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix} $$

覚えやすいといえば覚えやすいですが分母と分子でどっちが縦でどっちが横だっけ・・・?ってなりやすいです。よく使われれる覚え方は下のような「行列」という漢字で覚えます。

ヤコビ行列と「行列」という漢字の関係

分子(上)が行列の行という字に対応して横に整列していて,分母(下)が列という字に対応して縦に整列しています。縦書きで「行列」とかけば自然と覚えられます。

覚えておきたい具体例

極座標変換

(x,y)→(r,θ)を\( x=r\cos{\theta} , y=r\sin{\theta} \)と変換します。これについて定義通り計算します。

\(\displaystyle \frac{\partial x}{\partial r}=\cos{\theta}  , \hspace{ 3pt } \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin{\theta} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial r}=\sin{\theta} , \hspace{ 3pt } \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos{\theta} \)

より

\(\displaystyle det\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -r\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & r\cos{\theta} \end{pmatrix} \\
=r\cos^2{\theta} + r\sin^2{\theta} =r\)

<暗記事項>円の極座標変換のヤコビアンは\(r\)

円筒変換

(x,y,z)→(r,θ,z)を\( x=r\cos{\theta} , y=r\sin{\theta} ,z=z\)と変換します。これについても同様にすると

$$det \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -r\sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & r\cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = r $$

<暗記事項>円筒変換のヤコビアンは\( r\)

球面変換

(x,y,z)→(r,θ,φ)を\( x=r\sin{\theta}\cos{\phi} , y=r\sin{\theta}\sin{\phi} , z=r\cos{\theta} \)と変換する。これについても同様にすると

\(\displaystyle det \begin{pmatrix} \sin{\theta}\cos{\phi} & r\cos{\theta}\cos{\phi} & -r\sin{\theta}\sin{\phi} \\ \sin{\theta}\sin{\phi} & r\cos{\theta}\sin{\phi} & r\sin{\theta}\cos{\phi} \\ \cos{\theta} & -r\sin{\theta} & 0 \end{pmatrix}
\\=(\sin{\theta}\sin{\phi})(-r\sin{\theta})(-r\sin{\theta}\sin{\phi})\\+(r\cos{\theta}\cos{\phi})(r\sin{\theta}\cos{\phi})(\cos{\theta})
\\-(-r\sin{\theta}\sin{\phi})(r\cos{\theta}\sin{\phi})(\cos{\theta})\\-(\sin{\theta}\cos{\phi})(-r\sin{\theta})(r\sin{\theta}\cos{\phi})
\\=r^2\sin^3{\theta}\sin^2{\phi}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}\\+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\sin^2{\phi}+r^2\sin^3{\theta}\cos^2{\phi}
\\=r^2\sin^3{\theta}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}
\\=r^2\sin{\theta}\)

<暗記事項>球面変換のヤコビアンは\( r^2\sin{\theta} \)

<暗記事項>に載せた3つのヤコビアンは超頻出なので毎回計算しなくてもいいように覚えます。(円筒はやや頻度低いです)

ごくまれにこの3パターン以外(楕円など)で出題されることがあります。その場合はこのヤコビ行列を知っているかの問題ですので必ずヤコビアンの導出過程も書きましょう(記述式の場合)3パターンのどれにも当てはまらない例題を出します。

例題

Dを\( 0\leq 2x+5y \leq 1 , 0 \leq 3x-7y \leq 3\)を満たす領域とする。次の積分を求めよ。
\( \displaystyle \int_{D} (2x+5y)(3x-7y) dxdy\)

変数変換(x,y)→(u,v)を\( u=2x+5y , v=3x-7y \)とする。

ヤコビ行列の式をよく見ましょう。これをxで偏微分するのではありません。あくまでもx=・・・,y=・・・の式をu,vで偏微分します。なのでまずこれをx=・・・,y=・・・の式にする必要があります。(連立方程式を解きます)

答え\( x=\frac{7}{29}u+\frac{5}{29}v , y=\frac{3}{29}u-\frac{2}{29}v \)となるのでヤコビアンは

\(\displaystyle det\begin{pmatrix} \frac{7}{29} & \frac{5}{29} \\ \frac{3}{29} & \frac{-2}{29} \end{pmatrix}=\frac{-14-15}{29^2} \)

の絶対値なので\( \frac{1}{29} \)

よって求める積分は

\( \displaystyle \int_{D} (2x+5y)(3x-7y) dxdy
\\ \displaystyle = \int_{0}^{3} \int_{0}^{1} uv \cdot \frac{1}{29} dudv
\\ \displaystyle = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}v \cdot \frac{1}{29} dv
\\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{29}
\\ \displaystyle = \frac{9}{116} \)

クイズ

空欄に入る指数は?

ヤコビ行列 問題1
1
2
3
4

正解です !

間違っています !

空欄に入る値は?

ヤコビ行列 問題2
1
3
4分の1
4分の3

正解です !

間違っています !

空欄に入る値は?

ヤコビ行列 問題3
3分の1
マイナス3分の1
3
-3

正解です !

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