イプシロンデルタ論法

上野竜生です。大学に入って最初の難関イプシロンデルタ論法について解説します。イプシロンデルタとは関数の極限を厳密に定義する方法です。

イプシロンデルタ論法

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定義

(∀:任意の  ∃:~が存在する は数学記号です。)

\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=A \)
⇔\( \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 . 0<|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-A|<\epsilon \)

任意の正の実数εに対しあるδ>0が存在して 0<|x-a|<δならば|f(x)-A|<εを満たす。

とりあえずこれだけ覚えておけば以下はなんとなく復元できるでしょう。まずは定義をしっかり理解し覚えることが第一歩です。

\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\infty \)
⇔\( \forall R \exists \delta>0 . 0<|x-a|<\delta \rightarrow f(x)>R\)

任意の実数Rに対しあるδ>0が存在して0<|x-a|<δならばf(x)>Rである。

ちなみにマイナス∞になる極限の場合最後のf(x)>Rの不等号の向きを変えるだけです。

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=A \)
⇔\( \forall \epsilon>0 \exists R. x>R \rightarrow |f(x)-A|<\epsilon\)
任意の正の実数εに対しあるRが存在してxがRより大きければ|f(x)-A|<ε

\( \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n =A \)
⇔\( \forall \epsilon>0 \exists N . n>N \rightarrow |a_n -A|<\epsilon \)
任意の正の実数εに対しあるNが存在してnがNより大きければ|an-A|<ε

イメージしてみよう

まず|f(x)-A|<ε とはAを中心として±ε未満の範囲のことです。このεが十分小さければf(x)→Aに十分近づくといえます。

しかし「十分小さい」は厳密にうまくできそうにないので任意の正の数と定義しています。大きい範囲でも成り立つ必要がありますが|f(x)-A|<0.001を満たせば|f(x)-A|<1000でも満たすことは明らかなので任意といっても実質的に小さいεについて考えていることになります。

先に小さいεが与えられてもそれに対してうまくδをとりxに十分近い範囲で定義に書いた関係式が成り立てば高校で習うような「xがaに近づくときf(x)はAに十分限りなく近づく」ことが数式で定義されることになります。

なお定義をよくご覧ください。

すべてのεに対しあるδが存在し・・・ なので先にεが指定されています。つまりδのほうが後出しです。εの値を見てからδを決めることができます。つまりδはεを使った式でも構わないということです。これが

あるδが存在してすべてのεに対し・・・

という表現だと先にδを決める必要があるのでδ=(εの式)ではダメということになります。

具体例

大学の学年が上がるとこのような具体例はあまり意味がないことがわかりますが最初の理解として具体的な関数で実験してみましょう。高校のようなやり方で分母分子因数分解すると

\( \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}=4 \neq 2 \)

が成り立ちます。ということで次の2つを示す練習をしましょう。

\( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \)とする。
(1) \( \forall \epsilon >0 , \exists \delta>0 . 0<|x-2|<\delta \rightarrow |f(x)-4|<\epsilon \)が成り立つことを示せ。
(2) \( \forall \epsilon >0 , \exists \delta>0 . 0<|x-2|<\delta \rightarrow |f(x)-2|<\epsilon \)は成り立たないことを示せ。

答え(1) 要はδを求めよということです。

|x-2|≠0なので今まで通り分母分子因数分解できます。

\( \displaystyle |f(x)-4|=|\frac{x^2-4}{x-2}-4|=|(x+2)-4|=|x-2| \)

ということはδ=εとすれば

0<|x-2|<δ ⇒ |f(x)-4|<εが成り立つので題意は成立。

(2) 否定命題は

あるε>0が存在してすべてのδに対し0<|x-2|<δ⇒|f(x)-2|=|x|<εは成り立たない

ということになります(∵(1)と同様に|f(x)-2|=|(x+2)-2|=|x|)

ε=0.1とするとどんなにうまくδをとっても反例がでてしまいます

と言う風にうまく定義でています。(問題集などでは(1)のように成り立つ方ばかり紹介しているのが多いのでδ=εの式にできるならなんでも成り立ってしまうんじゃないか?と思う人もいると思い極限が正しくなければ定義式も満たさないほうの例もつけました)

ところで原理的にはこれで極限が定義できますが毎回δを求めるのは大変です。そこで大学1年では高校の時に習った四則演算の公式やハサミウチの原理などをイプシロンデルタで証明します。これにより具体的な関数の極限値を計算するときは今までの高校のやり方でOKだということになります。

大学で嫌になるのはこれらの定理をいちいち証明するところだと思います。かなり抽象的です。1つだけ例を挙げてみましょう。じっくり考えれば理解できるはずですがこんなのが続くのでどこまで飽きずにいられるかとの戦いです。

少し抽象的な例題

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\alpha , \lim_{x \to a} g(x)=\beta \)ならば
\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)g(x)=\alpha\beta \)が成り立つことを示せ。

このような感じの証明が大学数学では続いていきます。基本的には定義に戻りすでにわかっている補題や定理などを駆使してゴールの式の定義式を満たすことを示せばOKです。

答え∀ε1>0 ∃δ1>0 0<|x-a|<δ1⇒|f(x)-α|<ε1

∀ε2>0 ∃δ2>0 0<|x-a|<δ2⇒|g(x)-β|<ε2

を仮定できる。示すべき式は

∀ε>0 ∃δ>0 0<|x-a|<δ⇒|f(x)g(x)-αβ|<ε

これを満たすδを決めればよい。

f(x)g(x)-αβ=f(x)g(x)-f(x)β+f(x)β-αβであることに注意し三角不等式を使うと

|f(x)g(x)-αβ|≦|f(x)g(x)-f(x)β|+|f(x)β-αβ|
=|f(x)||g(x)-β|+|f(x)-α||β|

【参考】三角不等式|a-c|≦|a-b|+|b-c|
aからcまでの距離は一旦bを寄り道してから行くほうが長くなる

ここまでくると赤字部分が十分小さいという仮定と,残った部分が有限の値であることから示せそうです。少しだけ注意しておくと示すべき式はεが与えられたとき条件を満たすδが存在することで,その方法は具体的にδを1つ見つけるという手法です。

仮定にある∀の記号はすべてのε1で仮定していますが実際に使うのはその中でε1=εのときだけです。(すべての正の数で成り立つのだから今から示したい式のεでも成り立つ)

答え仮定の式はすべてのε12で成り立つからこれから示したい式中に含まれるεでも成り立つ。よってそのεに対し

∃δ1‘>0 . |x-a|<δ1‘⇒|f(x)-α|<ε

∃δ2‘>0 . |x-a|<δ2‘⇒|g(x)-β|<ε

が成り立つ。ここでδをδ1‘とδ2‘の小さいほうにすれば上の仮定は2つとも使えるので

|f(x)g(x)-αβ|<(|f(x)|+|β|)ε<(|α+ε|+|β|)ε (∵|f(x)-α|<ε)

となり示せた。

あれ?|α+ε|+|β|>1のときはεでおさえられてないじゃん?って思ったかもしれませんが
実はこれでOKです。εはそもそも任意の正の数なので2εでおさえられれば結局任意の正の数でおさえています。同様に有限の値Mに対しMεでおさえればやはり任意の正の数でおさえたことになり証明は完了しているのです。

いかがでしたか。今回の場合を理解すればイプシロンデルタについて少し読み進めることができるでしょう。ここを乗り越えると再び数IIIのような計算がやってきます。計算が楽しい人はもう少しの我慢です。

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