上野竜生です。問92の答えを発表します。

問92

全人口のうち1%の人がウイルスに感染しているとする。次の【検査A】と【検査B】を考える。
【検査A】実際に感染している人は90%の確率で陽性となり,感染していない人は90%の確率で陰性となる。
【検査B】実際に感染している人はa%の確率で陽性となり,感染していない人はa%の確率で陰性となる。
検査には陽性・陰性以外の結果はないものとし,同じ人に同じ検査を2回しても独立に陽性陰性が判定できるものとして問に答えよ。
(1)ある人に検査Aを実施すると陽性となった。この人がウイルスに感染している確率を求めよ。
(2)ある人に検査Aを実施すると陽性となったため,検査Aで再検査すると再び陽性となった。この人がウイルスに感染している確率を求めよ。
(3)検査Aは時間がかかるため検査Aの結果が出るまでに検査Bは2回できる。「検査Bで陽性となりもう1度検査Bをして陽性となった人がウイルスに感染している確率」が(1)の確率と等しくなるようなaの値を求めよ。

 

答え

(1)感染していて陽性になる人は
\(\frac{1}{100} \cdot \frac{90}{100}=\frac{9}{1000}\)
感染していなくて陽性になる人は
\(\frac{99}{100} \cdot \frac{10}{100}-\frac{99}{1000} \)
よって陽性になる確率は
\(\frac{9}{1000}+\frac{99}{1000}=\frac{108}{1000}\)
陽性となったとき感染している確率は
\(\displaystyle \frac{(陽性かつ感染の確率)}{(陽性となる確率)}\\ \displaystyle =\frac{\frac{9}{1000}}{\frac{108}{1000}}=\frac{9}{108}=\frac{1}{12}\)

(2)感染していて2度陽性になる人は
\(\frac{1}{100}\cdot \frac{90}{100} \cdot \frac{90}{100}=\frac{81}{10000}\)
感染していなくて2度陽性になる人は
\(\frac{99}{100} \cdot \frac{10}{100} \cdot \frac{10}{100}=\frac{99}{10000}\)
よって求める条件付確率は
\(\displaystyle \frac{\frac{81}{10000}}{\frac{81}{10000}+\frac{99}{10000}}=\frac{81}{180}=\frac{9}{20}\)

(3)感染していて2度陽性になる確率は
\(\frac{1}{100}\cdot \frac{a}{100} \cdot \frac{a}{100}=\frac{a^2}{1000000}\)
感染していなくて2度陽性になる確率は
\(\frac{99}{100}\cdot \frac{100-a}{100} \cdot \frac{100-a}{100}=\frac{99(100-a)^2}{1000000}\)
条件付確率は
\(\displaystyle \frac{a^2}{a^2+99(100-a)^2}\)
これが(1)の確率と等しいから
\[ \displaystyle \frac{a^2}{a^2+99(100-a)^2}=\frac{1}{12}\]
\(12a^2=a^2+99(100-a)^2 \)
\(88a^2 – 19800a + 990000 =0 \)
\(8a^2 – 1800a+ 90000=0 \)
\(a^2-225a+11250=0 \)
\( (a-75)(a-150)=0\)
a=75,150
0≦a≦100より,a=75

 

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