当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問93の答えを発表します。

問93 

11nの下4ケタが2021になるような自然数nは存在するか。

 

答え

存在すると仮定する。

n=1,2,3のとき11nはそれぞれ
11,121,1331だから下4ケタは2021ではない。

n≧4のとき
11n=(10+1)nとして二項定理を使うと
10n + nC110n-1+・・・+nCn-4104+nCn-3103+nCn-2102+nCn-110+1
ここで下線部(104まで)は10000の倍数だから下4ケタは0000。
下4桁に影響する部分のみを取り出すと
nCn-3103+nCn-2102+nCn-110+1
=nC3103+nC2102+10n+1
下1ケタは常に1である。
十の位はnの一の位に等しいのでこれが2であることから
n=10m+2とおける。
このとき百の位が0になる条件を求める。
nC2・100+10n+1
=100(5m+1)(10m+1)+10(10m+2)+1
=5000m2+1500m+100+100m+20+1
=5000m2+(16m+1)・100+21
百の位は16m+1の一の位に等しい。
しかし16m+1は奇数なので一の位が0にはならない。
よって矛盾。11nの下4ケタが2021になるような自然数は存在しない。

 

 

正解者:1名(古春さま)

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。