上野竜生です。問88の答えを発表します。

問88

2021以下の自然数の集合をAとする。
(1) Aからうまく異なる4つの自然数a,b,c,dを選べば次の4つの値がすべて素数になることを示せ
a+b+c , a+b+d, a+c+d , b+c+d
(2) Aからどのように異なる5つの自然数a,b,c,d,eを選んでも次の10個の値がすべて素数になることはないことを示せ
a+b+c , a+b+d , a+b+e , a+c+d , a+c+e , a+d+e ,
b+c+d , b+c+e , b+d+e , c+d+e

 

答え

(1)a=1,b=3 , c=7 ,d=9とすると
a+b+c=11 , a+b+d=13 , a+c+d=17 , b+c+d=19ですべて素数
(2)a,b,c,d,eは異なる自然数だからa+b+cなどはすべて6以上になり,3の倍数ならば素数ではない。
a,b,c,d,eを3で割った余りを考える。
もしa,b,c,d,eの中に3つ以上3で割った余りが同じものが含まれていればそれらの和は3の倍数になるので素数ではない。
またa,b,c,d,eの中に3で割った余りが0,1,2になるものがあればそれらの和は3の倍数になるので素数ではない。
よって余り0,1,2のうち2種類以下でかつ同じ余りは2個以下でなければならない。
そのような取り方は最大で4個の自然数しか選べないので5個の自然数を選べば必ず3の倍数になるものが現れ,素数にはならない。

 

 

 

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