今週の問題　問89　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問89の答えを発表します。

問89　★

$\displaystyle \sin{(x^2 \pi)}+\sin{((x-1)^2\pi)}+\sin{((x-2)^2\pi)}+\sin{((x-3)^2\pi)}=0 $ (0<x<3)の解は全部で何個あるか？

答え

和積の公式$\displaystyle \sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} $を用いる。

$\displaystyle \sin{(x^2 \pi)}+\sin{((x^2-2x+1)\pi)}+\sin{((x^2-4x+4)\pi)}+\sin{((x^2-6x+9)\pi)} \\ \displaystyle = 2\sin{((x^2-x+\frac{1}{2})\pi)}\cos{((x-\frac{1}{2})\pi)} +2\sin{((x^2-5x+\frac{13}{2})\pi)}\cos{((x-\frac{5}{2})\pi)} \\ \displaystyle =2\cos{((x-\frac{1}{2})\pi)} \{ \sin{((x^2-x+\frac{1}{2})\pi)}+\sin{(x^2-5x+\frac{1}{2})\pi)} \} \\ \displaystyle =4\cos{((x-\frac{1}{2})\pi)}\sin{((x^2-3x+\frac{1}{2})\pi)}\cos{(2x\pi)}=0$

よって$\cos{(2x\pi)}=0$・・・(ア)または$\displaystyle \cos{((x-\frac{1}{2})\pi)}=0$・・・(イ)または$ \sin{((x^2-3x+\frac{1}{2})\pi)}=0$・・・(ウ)

(ア)のとき$\displaystyle x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{9}{4},\frac{11}{4}$の6個。

(イ)のときx=1,2の2個

(ウ)のとき$\displaystyle (x^2-3x+\frac{1}{2})\pi=n \pi $(nは整数)

よって$\displaystyle x^2-3x+(\frac{1}{2}-n)=0$だから

$\displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt{4n+7}}{2}$

0<x<3より$\displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt{4n+7}}{2}(n=-1,0) $の4個。

以上より12個

正解者：0名

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>