今週の問題 問72 答え

上野竜生です。問72の答えを発表します。

問72

実数x,y,zは次を満たす。
\( x+y+z=5 \)
\( x^2+y^2+z^2=11 \)
xは整数だがy,z(y≦z)は整数ではない
このときx,y,zの値を求めよ。

答え

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解1 なるべく数IAの範囲で解く。

y,zは実数だから\( y^2 \geq 0 , z^2\geq 0 \)
つまり\( x^2 \leq 11 \)
xは整数だからx=±3,±2,±1,0のいずれかである。
それぞれの場合について整理すると次の通り

x y+z y2+z2
3 2 2
2 3 7
1 4 10
0 5 11
-1 6 10
-2 7 7
-3 8 2

y+z=k(一定)のとき\( y^2+z^2 \)の最大値を求める。

\( z=k-y \)を\( y^2+z^2 \)に代入すると
\( y^2+ (k-y)^2 \\ = y^2+k^2 -2ky+y^2 \\ =2y^2-2ky+k^2 \\ = 2(y-\frac{k}{2} )^2+ \frac{1}{2} k^2 \geq \frac{1}{2}k^2 \)
よって\( y^2+z^2 \geq \frac{1}{2}(y+z)^2 \)が成り立つ。(等号成立は\( y=\frac{k}{2}=\frac{y+z}{2} \)つまりy=zのとき)

ア~キの中でこの条件を満たさないものはy,zが実数にならないので不適。

条件を満たすものはア・イ・ウの3つである。

のときは等号成立するのでy=z=1となりy,zが整数でないという条件に反する

のときz=3-yを\( y^2+z^2=7 \)に代入すると
\( y^2+y^2-6y+9=7 \)
\( y^2 -3y +1=0 \)
\( \displaystyle y=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \)

y≦zとy+z=3より3=y+z≧y+y=2y つまり\( y\leq \frac{3}{2} \)
ここから
\( \displaystyle y=\frac{3 – \sqrt{5}}{2},z=\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)

のときz=4-yを\( y^2+z^2=10 \)に代入すると
\( y^2+y^2-8y+16=10 \)
\( y^2 -4y +3=0 \)
y=1,3となりyが整数でないという条件に反する

以上より\( \displaystyle x=2, y=\frac{3 – \sqrt{5}}{2},z=\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)

解2 数IIの微分を使う

\( x^2+y^2+z^2= (x+y+z)^2-2(xy+yx+zx)\\=25-2(xy+yz+zx)=11 \)
より
\( xy+yz+zx=7 \)
ここでxyz=aとするとx,y,zはtについての3次方程式
\( (t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t- xyz \)
=\( t^3-5t^2+7t-a =0 \)
の解である。

ここで\( f(t)=t^3-5t^2+7t \)とおくとx,y,zは実数だからy=f(t)とy=aは3点で交わり,かつt座標は1つが整数で残りの2つは整数以外である。
\( f'(t)=3t^2-10t+7=(t-1)(3t-7) \)より増減表とグラフは下の通り。

\(\begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 1 & \cdots & \frac{7}{3} & \cdots \\ \hline f’(t) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & 3 & \searrow & \frac{49}{27} & \nearrow \end{array} \)

グラフ

このグラフy=f(t)とy=aが3点で交わり,かつt座標の1つが整数であるとき,その整数は1,2,3のどれかである。

1や3のときは3つの交点がt=1,1,3になりすべて整数になるので「残りの2つが整数以外」という条件に反する。よって整数解は2である。

【以下解1と同様でもよいし,そのまま3次関数を無理やり使うなら次のようにも解答できます】

y=f(t)とy=aがt=2とその他2点で交わるとき,a=f(2)=2
つまりx,y,zは3次方程式
\( t^3-5t^2+7t-2 = (t-2)(t^2-3t+1)=0 \)の解であるから解は
\( \displaystyle t=2, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
xは整数,y≦zだから
\( \displaystyle x=2, y=\frac{3 – \sqrt{5}}{2},z=\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)

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