今週の問題 問70 答え

上野竜生です。問70の答えを発表します。

問70

立方体の8個の頂点を異なる8色で塗り分ける方法は何通りあるか求めたい。
ただし回転させて同じになるものはまとめて1個と数える。

異なる8色をA,B,C,D,E,F,G,Hとする。
Aをどの頂点に塗っても(回転させれば好きな位置に持っていけるので)一般性を失わない。
このとき立方体の8つの頂点をグループあ・い・う・えにグループわけをする。
グループあ: 頂点Aのみ
グループい: 頂点Aとの距離が立方体の辺の長さと等しい位置にある3つの頂点
グループう: 頂点Aとの距離が立方体の辺の長さの\(\sqrt{2} \)倍と等しい位置にある3つの頂点
グループえ: 頂点Aとの距離が立方体の辺の長さの\(\sqrt{3} \)倍と等しい位置にある1つの頂点
A以外の7色をグループい(3色)とグループう(3色)とグループえ(1色)にわけるやり方は[ ア ]通りある。
よってグループい・グループうの3色の塗り方の総数も考えると
立方体の8個の頂点を異なる8色で塗り分ける方法は全部で[ イ ]通りである。

答え


グループえの決め方は7色から1色選ぶから7通り。
残りの6色のうちグループいに入る3色を決めるやり方が6C3=20通り。
残りの3色はすべてグループうに入るから1通り。
よって7×20×1=140通り。


グループいの塗り方は回転させて同じになることを考えると円順列になる。よって2通り。
そのあとにグループうの塗り方を考える。
グループいの3色を塗った後では回転させても同じにはならないのでグループうの3色は順列である。よってグループうの塗り方は6通り。
以上より
140×2×6=1680通り。

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