今週の問題 問69 答え

上野竜生です。問69の答えを発表します。

問69

数列an,bnは次の漸化式を満たす
a1=2, b1=1
\(\displaystyle a_{n+1}=na_n – b_n +3 \)
\(b_{n+1}=na_n + b_n \)
このときすべての自然数nに対して\( a_n=2^n \)であることを証明せよ。

答え

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bnを予想する

問題文より\( a_n=2^n \)であるはずだから2つめの漸化式は
\( b_{n+1}=b_n + n\cdot 2^n \)
とかける。これは解ける漸化式なので解くと
\(\displaystyle b_n = b_1+ \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot 2^k \)
\(b_n= (n-2)2^n +3 \)となる。これがbnの一般項と推測できる。

【参考】\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1} k2^k \)とする。
\( S=1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 +3 \cdot 2^3 + \cdots + (n-1)\cdot2^{n-1} \)
\( 2S=    1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + \cdots + (n-2)\cdot 2^{n-1}+(n-1)2^n \)
第1式から第2式をひくと
\( -S=2+2^2+2^3+ \cdots +2^{n-1} – (n-1)2^n \\ = 2^n -2 – (n-1)2^n \)
よって\( S=(n-2)2^n+2 \)
\( b_n= b_1+S=1+(n-2)2^n+2=(n-2)2^n +3 \)
漸化式の第1式と第2式を足してもbnの一般項が予想できますね。

証明

\( a_n = 2^n , b_n=(n-2)2^n +3 \)であることを数学的帰納法で示す。

n=1のとき\( a_1=2^1=2 , b_1=(1-2)2^1+3=-2+3=1 \)より成立。

n=kで成立すると仮定する。つまり
\( a_k=2^k , b_k = (k-2)2^k +3 \)であると仮定すると
\( a_{k+1}=ka_k -b_k+3 = k\cdot 2^k – (k-2)2^k -3+3=2\cdot 2^k = 2^{k+1} \)
\( b_{k+1}=ka_k + b_k =k\cdot 2^k + (k-2)2^k+3=(2k-2)2^k+3= \{(k+1)-2\}2^{k+1}+3 \)
となるからn=k+1のときも成立。

よってすべての自然数nに対し\( a_n=2^n \)である。

ポイントはan単独ではなくbnも予想しないと証明しづらいというところです。

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