今週の問題 問56 答え

上野竜生です。問56の答えを発表します。

問56

次の空欄に整数(1ケタとも正とも限らない)を入れて文章を完成させよ。
1辺がaの正七角形ABCDEFGにおいてAC=b,AD=cとおく。
\(\displaystyle X=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2} \)の値を求めたい。
下の図の正七角形ABCDEFGにおいて\(\theta=\frac{\pi}{7} \)とおくと
∠BCA=θ , ∠ADC=θ , ∠ACD=θである。
正七角形
正七角形の外接円の半径をRとおくと正弦定理より
a=Rsinθ
b=Rsin(θ)
c=Rsin(θ)
よって
\(\displaystyle X=\frac{ウ^2R^2\sin^2{(ア\theta)}}{ウ^2R^2\sin^2{\theta}}+\frac{ウ^2R^2\sin^2{(イ\theta)}}{ウ^2R^2\sin^2{(ア\theta)}}+\frac{ウ^2R^2\sin^2{\theta}}{ウ^2R^2\sin^2{(イ\theta)}}\)
=(cos2θ+cos2θ+cos2θ)
=(cos2θ+cos4θ+cos8θ)
次に\(\displaystyle \alpha=\cos{\frac{2}{7}\pi}+i\sin{\frac{2}{7}\pi} \)とおく。
方程式z7=1の解はz=1,α,α23456であるから
α+α23456=
u=α+α24,v=α356とすると
u+v=,uv=
uの虚部は
sin2θ+sin4θ+sin8θ=sin2θ+sin4θ-sinθ>0なので
\(\displaystyle u=\frac{[サ]+\sqrt{[シ]} i}{[コ]}\)
よってこれらよりX=と求まる。

答え

=2,=4

正七角形の1つの内角は5θである。三角形ABCは二等辺三角形で∠ABC=5θだから∠BCA=θ。
同様にして∠CBD=θ。弧CDに対する円周角は等しいから∠CAD=θ。
∠ACD=∠BCD-∠BCA=5θ-θ=4θ。
∠ADC=(三角形の内角の和)-∠ACD-∠CAD=7θ-4θ-θ=2θ。

=2

三角形ABCにおいて正弦定理より
\(\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin{∠BCA}} \)
AB=a=2Rsin∠BCA=2Rsinθ
三角形ACDにおいて正弦定理を適用すると残りの2つも得られる。

=4,=6,=2

\(\displaystyle X=\frac{\sin^2{2\theta}}{\sin^2{\theta}}+\frac{\sin^2{4\theta}}{\sin^2{2\theta}}+\frac{\sin^2{\theta}}{\sin^2{4\theta}}\\
\displaystyle = \frac{\sin^2{2\theta}}{\sin^2{\theta}}+\frac{\sin^2{4\theta}}{\sin^2{2\theta}}+\frac{\sin^2{8\theta}}{\sin^2{4\theta}}\\
=\displaystyle \frac{(2\sin{\theta}\cos{\theta})^2}{\sin^2{\theta}}+\frac{(2\sin{2\theta}\cos{2\theta})^2}{\sin^2{2\theta}}+\frac{(2\sin{4\theta}\cos{4\theta})^2}{\sin^2{4\theta}}\\
=4(\cos^2{\theta}+\cos^2{2\theta}+\cos^2{4\theta}) \\
=\displaystyle 4\left(\frac{\cos{2\theta}+1}{2} +\frac{\cos{4\theta}+1}{2}+\frac{\cos{8\theta}+1}{2} \right) \\
=6+2(\cos{2\theta}+\cos{4\theta}+\cos{8\theta} )\)

=-1,=-1,=2

解と係数の関係よりz6の項に注目すると
\( 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=0 \)
よって\( \alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1 \)
さらに
\(u+v=\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1 \)
\(uv=(\alpha+\alpha^2+\alpha^4)(\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6)\\
=\alpha^4+\alpha^5+\alpha^7+\alpha^6+\alpha^7+\alpha^9+\alpha^7+\alpha^8+\alpha^{10}\\
=\alpha^4+\alpha^5+1+\alpha^6+1+\alpha^2+1+\alpha+\alpha^3\\
=3+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6\\
=3+(-1)=2\)

=2,=-1,=7

u+v=-1 ,uv=2だからu,vはtについての2次方程式
\( t^2+t+2=0 \)の解である。uの虚部は正だから解の公式より
\(\displaystyle u=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\)

=5

\(\displaystyle u=\cos{2\theta}+\cos{4\theta}+\cos{8\theta}+i(\sin{2\theta}+\sin{4\theta}+\sin{8\theta})=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} \)
実部を比較することにより
\(\cos{2\theta}+\cos{4\theta}+\cos{8\theta}=-\frac{1}{2} \)
なので
\( X=6+2(\cos{2\theta}+\cos{4\theta}+\cos{8\theta})=5 \)

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