上野竜生です。問5の答えを発表します。

問5

問5 図

図のようにAB=3,BC=4,CA=5の三角形ABCがある。Aを中心とする半径2の円,Bを中心とする半径1の円,Cを中心とする半径3の円をかき,三角形ABCの内部の部分だけを残す。

3つの円すべてに接する(赤い)円の半径を求めなさい。

 

答え

円の中心を(x,y) ,半径をrとおくと

\(
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=(r+1)^2 ① \\ x^2+(y-3)^2=(r+2)^2 ② \\ (x-4)^2+y^2=(r+3)^2 ③ \end{array} \right.\end{eqnarray}
\)

②-①より\(\displaystyle -6y+9=2r+3 ∴y=-\frac{1}{3}r+1 ④\)

③-①より\(\displaystyle -8x+16=4r+8 ∴x=-\frac{1}{2}r+1 ⑤\)

これらを①に代入すると

\(\displaystyle \frac{1}{4}r^2-r+1+\frac{1}{9}r^2-\frac{2}{3}r+1=r^2+2r+1\)

\(\displaystyle \frac{23}{36}r^2+\frac{11}{3}r-1=0 \)

両辺を36倍すると

\( 23r^2+132r-36=(23r-6)(r+6)=0 \)

r>0より\(\displaystyle r=\frac{6}{23} \)

 

ちなみにr=-6のほうですが
r=-6を④⑤に代入するとx=4,y=3となります。
円\( (x-4)^2+(y-3)^2=36 \)は図の緑色の円になり3つの円に外接する円になります。問5 外接円

 

 

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。