今週の問題 問5 答え

上野竜生です。問5の答えを発表します。

問5

問5 図

図のようにAB=3,BC=4,CA=5の三角形ABCがある。Aを中心とする半径2の円,Bを中心とする半径1の円,Cを中心とする半径3の円をかき,三角形ABCの内部の部分だけを残す。

3つの円すべてに接する(赤い)円の半径を求めなさい。

答え

円の中心を(x,y) ,半径をrとおくと

\(
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=(r+1)^2 ① \\ x^2+(y-3)^2=(r+2)^2 ② \\ (x-4)^2+y^2=(r+3)^2 ③ \end{array} \right.\end{eqnarray}
\)

②-①より\(\displaystyle -6y+9=2r+3 ∴y=-\frac{1}{3}r+1 ④\)

③-①より\(\displaystyle -8x+16=4r+8 ∴x=-\frac{1}{2}r+1 ⑤\)

これらを①に代入すると

\(\displaystyle \frac{1}{4}r^2-r+1+\frac{1}{9}r^2-\frac{2}{3}r+1=r^2+2r+1\)

\(\displaystyle \frac{23}{36}r^2+\frac{11}{3}r-1=0 \)

両辺を36倍すると

\( 23r^2+132r-36=(23r-6)(r+6)=0 \)

r>0より\(\displaystyle r=\frac{6}{23} \)

ちなみにr=-6のほうですが
r=-6を④⑤に代入するとx=4,y=3となります。
円\( (x-4)^2+(y-3)^2=36 \)は図の緑色の円になり3つの円に外接する円になります。問5 外接円

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