今週の問題 問49 答え

上野竜生です。問49の答えを発表します。

問49

三角形ABCにおいてAB=2sin72°,BC=2cos18°,CA=tan72°とするとき∠ABCは何度か?

答え

二等辺三角形

cos18°=cos(90°-72°)=sin72°よりAB=BCの二等辺三角形だから三角比より

\(\displaystyle \cos{∠BCA}=\frac{\frac{1}{2}\tan{72°}}{2\sin{72°}}=\frac{1}{4\cos{72°}}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4\cos{72°}}=\frac{\sin{72°}}{4\sin{72°}\cos{72°}}=\frac{\sin{72°}}{2\sin{144°}}=\frac{2\sin{36°}\cos{36°}}{2\sin{36°}}=\cos{36°}\)

であるから∠BCA=36°(∵cosxは0°<x<180°で単調減少)

二等辺三角形だから∠BAC=36°

よって∠ABC=108°

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