今週の問題 問20 答え

上野竜生です。問20の答えを発表します。

問20

次の空欄ア・イ・ウに入る整数は何か?
f(x)=x7-14x2+2018とする。
f(x)=0の解を実数の範囲で求めると解は( ア )個ある。
f(x)=0の解を複素数の範囲で求めるとき,n重解をn個と数えるなら解は( イ )個あり,n重解を1個と数えるなら解は( ウ )個ある。
イ・ウでは虚部が0の複素数、つまり実数も複素数解として数える。

答え

ア:1 イ:7 ウ:7

について
f'(x)=7x6-28x=7x(x5-4)よりy=f(x)の増減表は下の通り

\(\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & \sqrt[5]{4} & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 2018 & \searrow & f(\sqrt[5]{4}) & \nearrow \end{array} \)

\( f(\sqrt[5]{4})=4\sqrt[5]{16}-14\sqrt[5]{16}+2018>0 \)

よりy=f(x)はx<0の範囲に1つだけ解をもつ。

について

代数学の基本定理より明らかに7つ

について

もしn重解α(n≧2)があったとするとf(x)=(x-α)ng(x)の形でかける。

f'(x)=n(x-α)n-1g(x)+(x-α)ng'(x)よりf'(α)=0となる。

f(x)をf'(x)で割り算した式

\( f(x)=x^7-14x^2+2018=\frac{1}{7}xf'(x)-10x^2+2018 \)

にx=αを代入すると

\( 0=\frac{1}{7}\alpha \cdot 0 – 10\alpha^2 +2018 \)

となり\( \alpha= \pm \sqrt{\frac{1009}{5}} \)となるが

これはf(α)=0を満たさない。よってn重解α(n≧2)は存在しない。

ゆえにウに入る数字はイと同じで7である。

最後のf(α)は計算しなくてもよりそもそも実数解は1個しかないのでαが実数になった時点でそれは重解ではありません。

またf'(α)=0の解は求められるのでそのαについて調べてもOKです。(6個あるので少し大変かも・・・)

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