今週の問題 問18 答え

上野竜生です。問18の答えを発表します。

問18

2次関数f(x)がある。
xが実数全体を動くときのf(x)の最大値は1であり,
2次関数y=f(x)がx軸から切り取る線分の長さは1であった。
この2次関数の最高次の係数を求めよ。

答え

f(x)=ax2+bx+cとおくよりf(x)=a(x-p)2+qとおくほうがやりやすそうです。

このとき最大値の条件からa<0かつq=1となる。(a=0なら2次関数でなく,a>0なら最小値しかもたない)

2次方程式a(x-p)2+1=0の解を求める。

\( (x-p)^2=-\frac{1}{a} \)より\( x-p=\pm \sqrt{-\frac{1}{a}} \)

(a<0なので√の中は正)

\( x=p \pm \sqrt{-\frac{1}{a}} \)

x軸から切り取る線分の長さは2つの解の差だから

\( (p+\sqrt{-\frac{1}{a}})-(p-\sqrt{-\frac{1}{a}})=2\sqrt{-\frac{1}{a}}=1 \)

両辺2乗すると\( -\frac{4}{a}=1 \)となりa=-4

これはa<0を満たすので答えは-4

もちろんf(x)=ax2+bx+cとおいても計算量が多くなるだけで同様に解けます。

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