上野竜生です。問114の答えを発表します。

問114

正三角形ABCの内部に点Pがある。AP=4,BP=5,CP=6のとき,正三角形ABCの面積を求めよ。

 

答え

問114参考図1

点PをA,B,Cを中心に時計回りに60°回転した位置をD,E,Fとする。
ここでAP=4だからAD=4であり,∠DAP=60°だから三角形APDは正三角形。よってDP=4
同様にするとBP=BE=EP=5 , CP=CF=FP=6である。
次に三角形ABPと三角形CBEは2辺とその間の角が等しく合同なのでCE=AP=4
同様にするとAF=5,BD=6


六角形ADBECFの面積は正三角形ABCの面積の2倍である。
また六角形ADBECFの面積
=△ADP+△BEP+△CFP+△DBP+△ECP+△FAP
=1辺の長さが4の正三角形の面積+1辺の長さが5の正三角形の面積+1辺の長さが6の正三角形の面積+3×(3辺の長さが4,5,6の三角形の面積)

一辺が4,5,6の三角形の面積はヘロンの公式により
\( s=\frac{4+5+6}{2}=\frac{15}{2} \)
\( S=\sqrt{s(s-4)(s-5)(s-6)}=\frac{\sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4} \)
よって六角形の面積
=\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}(4^2+5^2+6^2)+3\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{77\sqrt{3}+45\sqrt{7}}{4} \)
以上より求める正三角形の面積はこの半分であるから
\(\displaystyle \frac{77\sqrt{3}+45\sqrt{7}}{8} \)

 

 

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