上野竜生です。問110の答えを発表します。

問110

[18 一橋大]
15個の実数x1,x2,・・・,x15からなるデータがある。このデータの平均値を\(\bar{x} \),標準偏差をsとする。
\( |x_i – \bar{x}|>2s \)を満たすxiの個数は3以下であることを証明せよ。

 

 

答え

\( |x_1 – \bar{x}|^2+ |x_2 – \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 =15s^2 \)
もし
\( |x_i – \bar{x}|>2s \)を満たすxiの個数が4個以上あると仮定する。少なくとも4個はあるからそれらを
\(x_a,x_b,x_c,x_d \)とする。するとそれらの和は

\( |x_a-\bar{x}|^2+ |x_b-\bar{x}|^2+ |x_c-\bar{x}|^2+ |x_d-\bar{x}|^2>(2s)^2+(2s)^2+(2s)^2+(2s)^2=16s^2 \)

\( x_a,x_b,x_c,x_d \)以外の11個のデータに関しても2乗すれば0以上になるから
\( |x_i-\bar{x}|^2 \geq 0 \)は成り立つ。よってそれらの11個のデータも加えた15個のデータに関する和として次が成り立つ。
\( |x_1 – \bar{x}|^2+ |x_2 – \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 >16s^2 \)
これは
\( |x_1 – \bar{x}|^2+ |x_2 – \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 =15s^2 \)
に矛盾。よって\( |x_i – \bar{x}|>2s \)を満たすxiの個数は3以下である。

 

 

 

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