上野竜生です。問108の答えを発表します。

問108

[数学オリンピック 2019]
AB>ACをみたす三角形ABCの内心をIとし,辺AB,ACを1:8に内分する点をそれぞれD,Eとする。三角形DIEが一辺の長さが1の正三角形であるとき,線分ABの長さを求めよ。

ヒント:厳密ではないですが割と正確な図

問108

 

答え

ヒント→ゴールまでの答え

つまりPはADの間に,QはAEの外側にあるところから
AD:AB=AE:AC=1:9なのでDE:BC=1:9であり,BC=9。
△DPI,△EQIは合同(直角三角形でDI=EI=1,PI=QI=内接円の半径)なのでDP=EQ・・・①
内接円の性質から
BP=BR , CQ=CRなので
BP+CQ=BR+CR=BC=9
ここで①よりBP+CQ=BD+CE=\(\frac{8}{9}\)(AB+AC)
これをまとめるとAB+AC=\(\frac{81}{8}\)・・・②
∠PIQ=∠DIE+∠EIQ-∠DIP=60°(①の合同の性質より∠EIQ=∠DIP)
四角形APIQについて∠API=∠AQI=90°なので∠BAC=120°
よって余弦定理より
\( AB^2+AC^2-2AB\cdot AC \cdot \cos{120°}=BC^2 \)
整理すると
\( AB^2+AC^2 + AB\cdot AC=81 \)・・・③
②の2乗-③より
\(\displaystyle AB・AC=\frac{81^2}{64}-81=\frac{17\cdot 81}{64} \)・・・④
②④よりAB,ACは
\(\displaystyle x^2 – \frac{81}{8} x + \frac{17\cdot 81}{64} = 0\)の解。
\( \displaystyle x= \frac{\frac{81}{8} \pm \sqrt{(\frac{81}{8})^2 – 4\frac{17\cdot 81}{64}} }{2}= \frac{81 \pm 9\sqrt{13}}{16} \)

AB>ACなのでABの長さは

\(\displaystyle \frac{81+9\sqrt{13}}{16} \)

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スタート→ヒントまで

P,Qの位置の可能性としては
①APD,AQEの順にあるとき
②ADP,AEQの順にあるとき
③APD,AEQの順にあるとき
④ADP,AQEの順にあるとき
が考えられる。
どの場合でも模範解答と同様のやり方でDP=EQは示せる。
①のとき
内接円の性質から
AP=AQ
さらにDP=EQより
AD=AE
よってAB=ACとなりAB>ACに矛盾
②も同様
③は模範解答の図と同様に考えると
AP=AQ
AD=AP+PD
AE=AQ-EQなのでAD>AE
よってAB>ACとなり適。
④は③と同様にするとAB<ACとなり不適。
以上より③だけが適する。

 

 

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