上野竜生です。問107の答えを発表します。

問107

\(x+y=6,x\geq 1,y\geq 1\)のとき
\( x^2 y^2 – x^2 – y^2 +xy \)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

 

答え

xy=tとおく。1≦x≦5だから
\( xy=x(6-x) = -x^2+6x = -(x-3)^2+9 \)
となり5≦t≦9
\( x^2 y^2 – x^2 – y^2 +xy \\ = (xy)^2 – (x+y)^2 +3xy \\ = t^2 -36+3t \\ = (t+\frac{3}{2})^2-\frac{153}{4} \)
より5≦t≦9では単調増加。
よって最大値はt=9のとき,つまりx=y=3のとき72。
最小値はt=5のとき,つまり(x,y)=(1,5),(5,1)のとき4。

 

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