上野竜生です。問105の答えを発表します。

問105

[14 摂南大]
\( \displaystyle x\geq 0 , y \geq 0 , x+y=\frac{2}{3} \pi \)とする。
\(\displaystyle \frac{\sin{y}+\cos{y}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \)を満たすとき
xの値を求めよ。

 

答え

\(\displaystyle \sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4}) }\)などに注意して整理すると
\( \sin{(x+\frac{\pi}{4})}=\sqrt{3}\sin{(y+\frac{\pi}{4})} \)
\( x+\frac{\pi}{4}=A \)とする。
\( y=\frac{2}{3}\pi-x \)を代入すると
\( y+\frac{\pi}{4}=\frac{11}{12}\pi-x=\frac{7}{6}\pi-A \)
\( \sin{A}=\sqrt{3}\sin{(\frac{7}{6}\pi-A)}=-\sqrt{3}\sin{(A-\frac{7}{6}\pi)} \)
\( \sin{A}=-\sqrt{3}(\sin{A}\cos{\frac{7}{6}\pi} -\cos{A}\sin{\frac{7}{6}\pi})=\frac{3}{2}\sin{A}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{A} \)
移項すると
\(\frac{1}{2}\sin{A}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{A}=0 \)
合成すると
\( \sin{(A-\frac{\pi}{3})}=0 \)
\( 0\leq x \leq \frac{2}{3}\pi \)より\( \frac{\pi}{4} \leq A \leq \frac{11}{12} \pi \)だから
\( A=\frac{\pi}{3} \)
∴\( x=\frac{1}{12}\pi \)

 

 

 

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