z^n=αを複素数の範囲で解く

上野竜生です。今回は複素数の比較的シンプルな方程式\(z^n=\alpha \)の解き方を紹介します。
zのn乗イコールαを複素数の範囲で解く
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解法

\(z^n=\alpha \)のタイプの方程式は極形式にすれば比較的簡単に解ける。

つまり\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) (r>0 , 0\leq \theta < 2\pi)\)とおくと,ドモアブルの定理などから
\( z^n=r^n (\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \)となる。
あとは右辺のαも極形式\(\alpha= r'(\cos{\theta’}+i\sin{\theta’}) \)の形にすると
\( r^n=r’ , n\theta=\theta’+2\pi k \)の形にかける。
ここでrはr>0の実数だから単純に\( r= \sqrt[n]{r’} \)としてよいし,\( 0 \leq \theta < 2\pi \)にするとkは有限個(特にn個)に定まるので
rとθを求め,それをもとの\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \)に代入すれば答えが得られるというわけです。
具体的な問題で見てみましょう。例題2のように右辺が複素数になっている場合も重要です。

例題1

\(z^6=1 \)を解け。

解法1 極形式にする

答え\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) (r>0 , 0\leq \theta < 2\pi)\)とおく。
\( z^6=r^6(\cos{6\theta}+i\sin{6\theta})=1=1(\cos{0}+i\sin{0}) \)
よって\(r^6=1 , 6\theta=2\pi n \)(nは整数)
r>0より\(r=1 , \theta=\frac{n \pi}{3} \)
\( 0 \leq \theta < 2\pi \)よりn=0,1,2,3,4,5
これを代入すると\(z=\cos{\frac{n \pi}{3}}+i\sin{\frac{n \pi}{3}} \)
n=0,1,2,3,4,5をそれぞれ代入すると
\(\displaystyle z=1, \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2},-1 , \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} , \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\)

解法2 因数分解する

答え\(z^6-1=(z^3+1)(z^3-1)=(z+1)(z-1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)=0 \)より
\(\displaystyle z=\pm 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} , \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)(複号任意)
今回は因数分解でも良いのですが極形式にするやり方は必ず身につけましょう。次の例題もご覧ください。

例題2

\(z^4= -2+2\sqrt{3} i  \)を解け。
答え\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) (r>0 , 0\leq \theta < 2\pi)\)とおく。
\( z^4=r^4(\cos{4\theta}+i\sin{4\theta})=-2+2\sqrt{3}i=4(\cos{\frac{2}{3}\pi}+i\sin{\frac{2}{3}\pi}) \)
よって\(r^4=4 , 4\theta=2\pi n+\frac{2}{3}\pi \)(nは整数)
r>0より \(r=\sqrt{2} , \theta=\frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{6} \)
\( 0 \leq \theta < 2\pi \)よりn=0,1,2,3
これを代入すると
\(\displaystyle z=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{7\pi}{6}}+i\sin{\frac{7\pi}{6}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}} \right)   \)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{2}, \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{2} , \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}, \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}i}{2}\)

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