√(x^2+a^2)の積分

上野竜生です。√(x2+a2)の積分の計算方法を紹介します。

これは高校生ができる積分の中では最高難度といっていいでしょう。

不定積分Iの計算方法

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今回考える積分

\(I=\displaystyle \int \sqrt{x^2+a^2} dx \) (a>0)

ただし\( J=\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})}+C \)は別のページにまとめてますのでこれはできるものとします。ここから復習したい人は前のページからご覧ください。

方法1: x=atanθと置換 (発想:易 計算:難)

最も単純に思いつく置換だと思います。

\(x=a\tan{\theta}\)とおく
\(\displaystyle I=\int \sqrt{(a\tan{\theta})^2+a^2} \cdot \frac{a}{\cos^2{\theta}} d\theta \\
=\displaystyle \int \sqrt{\frac{a^2}{\cos^2{\theta}}} \cdot \frac{a}{\cos^2{\theta}} d\theta\\
=\displaystyle a^2 \int \frac{1}{\cos^3{\theta}} d\theta \\
=\displaystyle a^2 \int \frac{1}{\cos{\theta}} \cdot (\tan{\theta})’ d\theta\\
=\displaystyle a^2\left(\frac{1}{\cos{\theta}}\cdot \tan{\theta}-\int \frac{\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}\cdot \tan{\theta}d\theta\right)\\
=\displaystyle \frac{a^2\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}-a^2 \int \frac{1-\cos^2{\theta}}{\cos^3{\theta}} d\theta\\
=\displaystyle \frac{a^2\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}-I+\int a^2\frac{1}{\cos{\theta}}d\theta\)
ここで最後の積分は\( \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \)の積分の時にすでに行っているのでその結果(下の【参考】にまとめています)を代入し第2項=Iを移項して2で割ると

\(\displaystyle I=\frac{1}{2}\left( \frac{a^2 \sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}+a^2 \log{(x+\sqrt{x^2+a^2})}\right)\)

\(\displaystyle \frac{a^2\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{a^2\sin{\theta}}{1-\sin^2{\theta}}=\displaystyle \frac{a^2\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{1-\frac{x^2}{x^2+a^2}}=\frac{a^2 x\sqrt{x^2+a^2}}{x^2+a^2-x^2}=x\sqrt{x^2+a^2}\)

より

\( \displaystyle I=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2 \log{(x+\sqrt{x^2+a^2})}) +C\)

【参考】 Jを求めるページから結果のみを書き写すと
\( \displaystyle \int \frac{d\theta}{\cos{\theta}}=\frac{1}{2}\log{\left|\frac{\sin{\theta}+1}{\sin{\theta}-1}\right|}=\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})}\)
(積分定数は省略)
\( \displaystyle \sin{\theta}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)

結局部分積分して\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \)の積分をするので方法3に近いところがあります。

方法2: x=asinhθと置換 (発想:普通 計算:普通)

三角関数の親戚といってもいい双曲線関数を用いて置換する方法です。双曲線関数を習わない人にとっては発想が難しいかもしれませんが双曲線関数を知っていれば三角関数と類似の性質が使えることから比較的アイデアは普通に思い浮かぶレベルです。

\(\displaystyle x=a\sinh{\theta}=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}a\)とおく
\(\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+a^2}dx \\
=\displaystyle \int a \sqrt{\left(\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}\right)^2+1} \cdot \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}a d\theta\\
=\displaystyle \int a^2 \sqrt{\left(\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}\right)^2} \cdot \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2} d\theta\\
=\displaystyle a^2 \int \frac{e^{2\theta}}{4}+\frac{1}{2}+\frac{e^{-2\theta}}{4} d\theta\\
=\displaystyle a^2\left(\frac{e^{2\theta}}{8}+\frac{1}{2}\theta-\frac{e^{-2\theta}}{8}\right)\)

ここで\( \displaystyle x=\frac{ae^{\theta}}{2}-\frac{ae^{-\theta}}{2} \)をeθについて解くと(詳細はJを求めるときに計算しているのでここでは結果のみを書きます。わからない人はJを求めるページをご覧ください)

\( \displaystyle e^{\theta}=\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a} \)

となるのでこれを代入すると

\( \displaystyle I=\frac{a^2}{8}\cdot \frac{x^2+2x\sqrt{x^2+a^2}+x^2+a^2}{a^2}+\frac{a^2}{2}\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})}-\frac{a^2}{2}\log{|a|}-\frac{a^2}{8}\cdot \frac{a^2}{(x+\sqrt{x^2+a^2})^2}\\
=\displaystyle  \frac{x^2+2x\sqrt{x^2+a^2}+x^2+a^2}{8}+\frac{a^2}{2}\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})}-\frac{a^2}{2}\log{|a|}-\frac{a^2}{8}\cdot \frac{a^2(x^2-2x\sqrt{x^2+a^2}+x^2+a^2)}{a^4}\\
=\displaystyle \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})})+C\)

log|a|は定数なので積分定数の中に入ります。

方法3: 部分積分して\( J=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}\)の積分に帰着 (発想:やや難 計算:帰着したあとの難易度に依存)

\(\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+a^2} dx\\
=\displaystyle \int \frac{x^2+a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}dx\\
=\displaystyle \int x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}dx\\
=\displaystyle x\sqrt{x^2+a^2}-\int \sqrt{x^2+a^2} dx + \int \frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}} dx\\
=\displaystyle x\sqrt{x^2+a^2}-I+a^2 J\)

Jの値は最初に書いてますのでそれを代入します。

\( \displaystyle I=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}J \\
=\displaystyle \frac{1}{2}( x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})})+C\)

この方法はJを求める部分でやっぱり何かしらの置換が必要で,その難易度に依存します。

方法4: \( t= \log{(x+\sqrt{x^2+a^2}}) \)と置換 (発想:難 計算:やや易)

変形していくと

\( e^t=x+\sqrt{x^2+a^2} \)

\( e^t-x=\sqrt{x^2+a^2} \)

\(e^{2t}-2xe^t+x^2=x^2+a^2 \)

\( \displaystyle x=\frac{1}{2}e^t – \frac{a^2}{2}e^{-t} \)

となる。またJを求めるときと同様にdt/dxを計算すると

\( \displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \)

(詳細はJを求めるページをご覧ください)

よって

\( \displaystyle I=\int (x^2+a^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx \\
=\displaystyle \int \left(\frac{1}{2}e^t – \frac{a^2}{2}e^{-t}\right)^2+a^2 dt\\
=\displaystyle \int \frac{1}{4}e^{2t}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^4}{4}e^{-2t} dt \\
=\displaystyle \frac{1}{8}e^{2t}+\frac{a^2}{2}t-\frac{a^4}{8}e^{-2t} \\
=\displaystyle \frac{1}{8}(x+\sqrt{x^2+a^2})^2-\frac{a^4}{8}\cdot \frac{1}{(x+\sqrt{x^2+a^2})^2} +\frac{a^2}{2}\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})} \\
=\displaystyle \frac{1}{8}(x^2+2x\sqrt{x^2+a^2}+x^2+a^2)-\frac{a^4(x^2-2x\sqrt{x^2+a^2}+x^2+a^2)}{8a^4}+\frac{a^2}{2}\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})} \\
=\displaystyle \frac{1}{2}( x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log{(x+\sqrt{x^2+a^2})})+C\)

(最後以外積分定数は省略)

方法5: 答えを暗記! (発想:難 計算:易)

\( \displaystyle \int \sqrt{x^2+a^2} dx=\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+a^2}+a^2 \log{(x+\sqrt{x^2+a^2} )})+C \)であることを覚えているのでこれが正しいことを示す。

右辺をf(x)とし,f'(x)が左辺の被積分関数になればよい。

\( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{1}{2}x \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{a^2}{2}\cdot \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x+\sqrt{x^2+a^2}} \\
=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{x^2}{2\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{a^2}{2\sqrt{x^2+a^2}}\\
=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}\\
=\displaystyle \sqrt{x^2+a^2}\)

より最初の(暗記していた)積分は正しい。

かなり長くなりました。それだけラスボスは大変なのです。このタイプは誘導なしで出題されることはほぼないといっていいでしょう。(初見で解く人と答え暗記して微分するだけの人で不公平なので。)パターンとしては

・先に答えを書いてあって微分して\( \sqrt{x^2+a^2} \)になることを誘導の問題として出題

・何で置換するかが指定されている

のどちらかで出題される可能性は十分にあります。

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