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上野竜生です。対数の値（たとえばlog102がどのぐらいなのか）を計算する方法を紹介します。
基本は値を挟むだけ
たとえば9<10に常用対数をとると
log109<log1010となり，2log103<1からlog103<0.5がいえます。
このようにそこそこ近い2つの数の不等式の両辺に対数をとって評価します。
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例題
0.301<log102<0.302, 0.477<log103<0.478を用いて良い。
α=log1026とするとき以下を示せ。
(1)[初級] 1.39<α<1.44
(2)[中級] 1.41<α
(3)[上級] 0.434<log10e<0.435を用いてα<1.42を示せ。
α=log1026とするとき以下を示せ。
(1)[初級] 1.39<α<1.44
(2)[中級] 1.41<α
(3)[上級] 0.434<log10e<0.435を用いてα<1.42を示せ。
(2)(3)が示せれば(1)なんてなくても1.41<α<1.42が示せますが証明の難易度の順になってます。
まず26に近い数で値を評価します。あとで対数をとることを考えると右側の部分は26<27に対数をとれば良さそうです。左側は25<26でよさそうですね。このときlog102の範囲がわかればlog105の範囲もわかることに注意しましょう。
答え(1) log105=1-log102より0.698<log105<0.699
25<26<27より両辺に常用対数をとると
2log105<α<3log103
よって1.396<α<1.434となり1.39<α<1.44
26に近い数だから26<26.1に常用対数をとればもっといいのでは・・・？
と思うかもしれません。確かにそうですが次のステップでlog1026.1が計算できないのでこのアイデアはボツになります。
一方で25<26ではなく25.6<26にするとlog1025.6は計算できるのでこちらのほうが精度はよくなります。log1025.6=(8log102)-1に注意すると
α>1.408がいえます。
と思うかもしれません。確かにそうですが次のステップでlog1026.1が計算できないのでこのアイデアはボツになります。
一方で25<26ではなく25.6<26にするとlog1025.6は計算できるのでこちらのほうが精度はよくなります。log1025.6=(8log102)-1に注意すると
α>1.408がいえます。
ここまでわかればとりあえず中堅大学レベルまではOKです。ここからはハイレベルな内容になります。余裕のある人は挑戦しましょう。
y=log10xのグラフに注目
この関数は上に凸です。上に凸な関数f(x)の性質として次のものがあります。
\( \displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) > \frac{f(a)+f(b)}{2} \)
これを使って(2)を解いてみましょう。
答え(2) y=log10xは上に凸だから
\(\displaystyle \log_{10}{\frac{25+27}{2}} > \frac{\log_{10}{25}+\log_{10}{27}}{2}\)
\(\displaystyle \alpha>\frac{2\cdot 0.698+3\cdot 0.477}{2}=\frac{2.827}{2}=1.4135>1.41\)
\(\displaystyle \log_{10}{\frac{25+27}{2}} > \frac{\log_{10}{25}+\log_{10}{27}}{2}\)
\(\displaystyle \alpha>\frac{2\cdot 0.698+3\cdot 0.477}{2}=\frac{2.827}{2}=1.4135>1.41\)
ちなみに最初の性質ですが対数関数に限って言えば
262>25・27に対数をとっても示せます。
262>25・27に対数をとっても示せます。
さらに上に凸な関数の性質として接線上の点はf(x)より上側にあるというものもあります。
つまり(27,f(27))から引いた接線の式を求めて評価するとさらに精密な評価になります。
答え(3) f(x)=log10xとおく。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x\log{10}}=\frac{\log_{10}{e}}{x} \)
よってy=f(x)上の点(27,f(27))から引いた接線の式は
\(\displaystyle y-\log_{10}{27}=\frac{\log_{10}{e}}{27}(x-27)\)
y=f(x)は上に凸だからこの式にx=26を代入したときのyの値はαより大きい。よって
\( \displaystyle \alpha<\log_{10}{27}-\frac{\log_{10}{e}}{27}<1.434-\frac{0.434}{27}=1.4179\cdots <1.42 \)
ちなみに(25,f(25))からの接線で計算すると
\( \displaystyle y-\log_{10}{25}=\frac{\log_{10}{e}}{25}(x-25) \)より
\(\displaystyle \alpha<\log_{10}{25}+\frac{\log_{10}{e}}{25}<1.398+\frac{0.435}{25}=1.4154<1.42 \)
となりこちらのほうが精度はいいです。
\( \displaystyle y-\log_{10}{25}=\frac{\log_{10}{e}}{25}(x-25) \)より
\(\displaystyle \alpha<\log_{10}{25}+\frac{\log_{10}{e}}{25}<1.398+\frac{0.435}{25}=1.4154<1.42 \)
となりこちらのほうが精度はいいです。
(2)と(3)の精度の良いほう(=(25,f(25))からの接線）の結果から
1.4135<α<1.4154
という風にかなり良い精度でlog1026を評価することができます。
電卓でlog1026を計算すると1.4149・・・なので確かにこの範囲に入っていますね！
1.4135<α<1.4154
という風にかなり良い精度でlog1026を評価することができます。
電卓でlog1026を計算すると1.4149・・・なので確かにこの範囲に入っていますね！
通常入試問題では(1)レベルしか問わないとは思います。(1)のパターンを練習しておきましょう。コツはlog10○○が計算できるような○○の中でなるべく評価したい値に近いものを使うことです。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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