相加相乗平均の関係の応用問題

上野竜生です。相加相乗平均の関係を利用した応用問題を練習します。理系の人は微分を使って解けますがここでは文系や数IIまでしか使えない人のために相加相乗平均で解きます。なお,3変数の相加相乗平均までは既知とします。

[参考]3変数の相加相乗平均の関係
a>0,b>0,c>0のとき
$$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc} $$
等号成立はa=b=cのとき

相加相乗平均の関係の応用

目次は問題一覧になってるので実力を試したい人は目次だけ見て答えてみてください。

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(1) \( 2^x+2^{-x} \)の最小値を求めよ。

相加相乗平均で不等式を書いただけではライバルとの差がつきません。

ライバルと差をつけるには相加相乗平均の適用条件(a>0,b>0・・・)を確認することと,最小値を答えるときは等号成立条件を常に意識することが必要です(求めよと書かれてなくても求める癖をつけましょう)

2x>0,2-x>0より相加相乗平均の関係から
\( 2^x+2^{-x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2 \)

等号成立は2x=2-x,つまりx=0のとき。

よって最小値は2

このように問題に「等号成立するxの値を求めよ」と書かれていない場合,最終的な答えに「x=0のとき」は不要ですが、2x+2-x≧2を示しただけで2x+2-x=2が成立するxが存在することを言わなければ最小値が2とは言い切れませんので結局等号成立条件を求める必要があります

(2) \( 4^x+2^{-x} \)の最小値を求めよ。

\( \displaystyle 4^x+2^{-x}=4^x+\frac12 2^{-x}+\frac12 2^{-x} \)として相加相乗平均の関係を適用する。4x>0,2-x>0より

\( \displaystyle \frac{4^x+\frac12 2^{-x}+\frac12 2^{-x}}{3} \geq \sqrt[3]{4^x \cdot \frac12 2^{-x} \cdot \frac12 2^{-x}}=\sqrt[3]{\frac14}\)

等号成立は\( 4^x=\frac12 2^{-x}=\frac12 2^{-x}\),つまり\(x=-\frac{1}{3}\)のとき

最小値は\(\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)

(3)x>0のとき\( \frac{x}{(x+1)(x+4)}\)の最大値を求めよ。

分母分子をxで割れば分母に相加相乗平均が使えます。

\( \displaystyle \frac{x}{(x+1)(x+4)}=\frac{1}{x+5+\frac{4}{x}}\leq \frac{1}{2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}+5}=\frac{1}{9} \)

x>0より分母に相加相乗平均の関係を用いた。(分母は大きいほど値が小さくなるので不等号の向きに注意)

等号成立はx=2のときで最大値\( \frac19\)

(4) x>0のとき\(x+\frac{4}{x+1}\)の最小値を求めよ。

\(\displaystyle  x+\frac{4}{x+1}=(x+1)+\frac{4}{x+1}-1 \geq 2\sqrt{(x+1)\cdot\frac{4}{x+1}}-1 =3 \)

x+1>0だから相加相乗平均の関係を用いた。等号成立はx=1のとき最小値3

(5) 1<x<4のとき\( x^2-5x+\frac{1}{(x-1)(x-4)}\)の最大値を求めよ。

\(\displaystyle  x^2-5x+\frac{1}{(x-1)(x-4)}=(x^2-5x+4)+\frac{1}{x^2-5x+4}-4 \)

よりA=x2-5x+4とおけば相加相乗平均の関係が使えそうですが,A<0であることに注意してください。A<0の場合に相加相乗平均の関係を使うには(-A)>0を利用して(-A)に関する相加相乗平均を作るのが鉄則です。結局A=(x2-5x+4)とおけば一発で話が済みます。

A=-(x2-5x+4)とおくとA>0であり

(与式)=\( -A+\frac{1}{-A}-4=-4-(A+\frac{1}{A}) \leq -4-2\sqrt{A\cdot\frac{1}{A}}=-6\)

等号成立はA=1つまりx2-5x+4=-1のときであり\( x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}\)のとき。これは1<x<4を満たすので最大値は-6

いかがでしたか。特に(1次式)/(2次式)の形は分子で無理やり分母分子を割り,分母だけに相加相乗平均を使うことができますね。知っておくと武器になります。

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