内分・外分・中点・重心を表す複素数の公式

上野竜生です。今回は複素数で「内分」「外分」「中点」「重心」を表す複素数の計算方法を身につけましょう。

内分・外分・重心を表す複素数

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<復習>ベクトルでの「内分」「外分」「中点」「重心」を表す

任意の点Oと点A,B,Cをとる。

・ABをm:nに内分する点をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n} \)

・ABをm:nに外分する点をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{-n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m-n} \)

・ABの中点をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}\)

・三角形ABCの重心をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\)

ここまでは大丈夫ですよね。これとほぼ同じです。

複素数版の公式

A,B,Cを表す複素数をそれぞれ\(\alpha,\beta,\gamma\)とする。

・ABをm:nに内分する点をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\)

・ABをm:nに外分する点をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}\)

・ABの中点をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\)

・三角形ABCの重心をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\)

まったく同様ですね。

練習

A(1+2i),B(5i),C(2-i)とする。
(1) ABを2:1に内分する点を表す複素数を求めよ。
(2) ABを2:1に外分する点を表す複素数を求めよ。
(3) 三角形ABCの重心を表す複素数を求めよ。

公式に従って計算するだけです。

答え(1) \(\displaystyle \frac{(1+2i)+2(5i)}{2+1}=\frac{1+12i}{3} \)
(2) \(\displaystyle \frac{-(1+2i)+2(5i)}{2-1}=-1+8i\)
(3) \(\displaystyle \frac{(1+2i)+(5i)+(2-i)}{3}=\frac{3+6i}{3}=1+2i\)

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