無理関数のグラフと定義域・値域

上野竜生です。今回は無理関数(ルートの関数)のグラフの書き方と定義域や値域を紹介します。マイナスの符号がついたときの形に注意しましょう。

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\( y=\sqrt{ax} \)のグラフ

グラフの形は下のようになる。放物線を横に傾けたものの一部。a=0のときはただの定数関数なので略。a<0のとき左側になる点に注意
定義域はルートの中が0以上つまり
a>0のときはx≧0,a<0のときはx≦0
値域はy≧0である。

y=√(ax)のグラフ

当然\( y=-\sqrt{ax} \)のグラフはx軸に対して対称移動させたものになる。定義域はルートの中が0以上。値域はy≦0

y=-√(ax)のグラフ

\( y=\sqrt{ax+b} \)のグラフ

\(\displaystyle y=\sqrt{ax+b}=\sqrt{a(x+\frac{b}{a}) } \)なので
\(y=\sqrt{ax} \)をx軸方向に\(\displaystyle -\frac{b}{a} \)平行移動したものになる。

いずれの場合も定義域はルートの中が0以上、値域はルート部分が0以上全体をとることに注意して求めればOKです。

例題1

次のグラフをかき,定義域と値域を求めよ。
(1) \( y=\sqrt{9-5x} \)
(2) \( y= -\sqrt{-x-1}-1 \)

答え

(1) \(\displaystyle y=\sqrt{-5(x-\frac{9}{5} )}\)なので
\( y=\sqrt{-5x} \)のグラフをx軸方向に\(\displaystyle \frac{9}{5} \)平行移動したもの。よってグラフは下の通り
y=√(9-5x)のグラフ
定義域は9-5x≧0,つまり\(\displaystyle x \leq \frac{9}{5} \),値域はy≧0

(2) \( y=-\sqrt{-(x+1)}-1 \)なので
\( y=-\sqrt{-x} \)のグラフをx軸方向に-1,y軸方向に-1平行移動させたもの。
よってグラフは下の通り。
y=-√(-x-1)-1のグラフ定義域はx≦-1,値域はy≦-1

ここまでは基本です。分数関数のときとは違い比較的簡単にグラフが書けると思いますし,分数関数と違って不等式を解くときなどはグラフを書くほうが楽です。なのでグラフをかけるようにしたいところです。出題頻度はあまり高くないので時間短縮までは不要でしょう。

例題2

\( y=\sqrt{2x-4} \)のグラフと直線y=x+aの共有点の個数が2個となるようなaの範囲を求めよ。

まず\(y=\sqrt{2(x-2)} \)のグラフを書きましょう。あとはグラフを参考に答えの見当をつけます。

答え\( y=\sqrt{2(x-2)} \)のグラフは下の通り
無理関数の例題2

よってグラフの①((2,0)を通るとき)のaの値以上②のとき(接するとき)のaの値未満が求める範囲である。
①のときy=x+aが(2,0)を通るからa=-2
②のとき\( \sqrt{2x-4}=x+a \)より
\( 2x-4=x^2+2ax+a^2 \)
\(x^2+2(a-1)x+a^2+4=0 \)の判別式をDとすると
\( D/4=(a-1)^2-a^2-4=-2a-3= 0 \)
より\(\displaystyle a=-\frac{3}{2} \)
よって共有点が2個となるaの範囲は
\(\displaystyle -2 \leq a < -\frac{3}{2} \)

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