対数関数の領域図示問題

上野竜生です。対数関数の領域を図示する問題です。特に新しいことはありませんがこれまでの対数の性質を使い,場合分けも複雑なので自力で解くのは難しいです。例題を1問だけ載せているので解けるか挑戦してみましょう!

対数関数の領域図示

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例題

\(\log_{x}{y}-\log_{y}{x^2}\geq 1 \)を満たす領域をxy平面に図示せよ。
答え底・真数条件よりx>0,y>0,x≠1,y≠1
\(A=\log_{x}{y}\)とおくと底の変換公式から
\(\displaystyle \log_{x}{y}-2\log_{y}{x}=\log_{x}{y}-\frac{2}{\log_{x}{y}} \geq 1\)
つまり\(A-\frac{2}{A}\geq 1\)
A>0のとき両辺をA倍すると
\(A^2-A-2=(A-2)(A+1) \geq 0\)
よってA≦-1またはA≧2。A>0とあわせるとA≧2
A<0のとき両辺をA倍すると
\(A^2-A-2=(A-2)(A+1) \leq 0\)
よって-1≦A≦2。A<0とあわせると-1≦A<0
よって\(-1 \leq \log_{x}{y} < 0\)または\(\log_{x}{y} \geq 2\)
x>1のとき
\(x^{-1} \leq y < 1\)または\(y \geq x^2\)
0<x<1のときは符号に注意すると
\(1 < y \leq x^{-1}\)または\(y \leq x^2\)
これを図示すると下の斜線部分。ただし境界は
\(y=\frac{1}{x},y=x^2\)を含みx軸,y軸,y=1,x=1は含まない。
原点・(1,1)は含まない。
対数の領域の答え

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