極限の高校数学的定義と求める時の記述方法の基礎

上野竜生です。極限の基礎を教えます。具体的な計算は次回に回し、当たり前に見える一般的な性質の紹介と、当たり前に成り立ちそうなのに実は成り立たない例などをクイズ形式でも紹介します。

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定義

xをaに近づけるとf(x)がAに限りなく近づくとき\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=A \)と書く。※Aより大きい方から近づけるのとAより小さい方から近づけるのを両方考えてその結果が一致するときのみ定義する。

またxを十分大きくしたときf(x)がAに限りなく近づくとき\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=A \)と表す。これらの場合はAに収束するという。

特に限りなく大きくなる時はAの代わりに∞、限りなく小さくなる時はー∞とかく。この場合は収束するとは言わず発散するという。

例えばf(x)=sinxのようにx→∞にしたとき限りなく近づくわけでもなく±∞にも発散しないものがあります。これを特に振動するといいますが振動も発散のなかに含まれると考えていいでしょう。

記述の場合、途中式は絶対残しましょう

数IIで因数分解して約分するタイプは求めましたね。このとき因数分解した式は必ず答案上に明記する必要がありました。数IIIにもいくつかの不定形や変形方法を学びますが必ず不定形を解消した式を明記する必要があります。これからいくつか解法パターンと具体例を確認していきます。

次の極限を求めよ。
\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} \)

こういうものは必ず約分できる形に変形しましょう。\( x^2-1=(x-1)(x+1) \)を答案上に見せないと減点される可能性が高いです。

答え\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1)=2 \)

性質

数列\(a_n,b_n\)が収束し,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha , \lim_{n \to \infty} b_n= \beta \)であるとする。
このとき次が成り立つ。
 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} k a_n = k\alpha \)
 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n )=\alpha \pm \beta \)(複号同順)
 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha \beta \)
 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta} \)(β≠0)

 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha ⇔ \lim_{n \to \infty} |a_n – \alpha |= 0 \)

 任意のnに対し\( a_n \leq b_n \)ならば\( \alpha \leq \beta \)
任意のnに対し\( a_n < b_n \)ならば\( \alpha \leq \beta \)

一見当たり前ですが、極限は思いのほか「当たり前」が通じません。例えば⑥の後半のように仮定条件では等号なしなのに結論ではいきなり等号がついてきたりします。

間違えやすいのでクイズを作ってみました。チャレンジしてみてくださいね。

クイズ

極限の基礎がわかっているかのクイズです。真か偽か判定してみてください。なお、その際証明・反例を考えてみてください。思いつかなければ勘で選んでもいいです。正誤判定は結果のみで判定されるので証明・反例が思いつかず勘の選択肢を選んでも結果が正しければ正解扱いしてくれます。

Q1

極限クイズ問1
極限クイズ問1
真(証明できる)
真(証明は思いつかない)
偽(反例が思いつく)
偽(反例は思いつかない)

正解です !

間違っています !

Q2

極限クイズ問2
極限クイズ問2
真(証明できる)
真(証明は思い浮かばない)
偽(反例が思い浮かぶ)
偽(反例は思い浮かばない)

正解です !

間違っています !

Q3

極限クイズ問3
極限クイズ問3
真(証明できる)
真(証明はできない)
偽(反例が思い浮かぶ)
偽(反例は思い浮かばない)

正解です !

間違っています !

Q4

極限クイズ問4
極限クイズ問4
真(証明できる)
真(証明は思い浮かばない)
偽(反例が思い浮かぶ)
偽(反例は思い浮かばない)

正解です !

間違っています !

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