円の極と極線(円外の点から引いた2つの接線の接点を通る直線)

上野竜生です。円の極と極線に関する面白い性質を紹介します。考え方も独特なので是非目を通すことをオススメします。

極と極線

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<復習>円の接線の公式

円x2+y2=r2円周上の点(p,q)からひいた接線の方程式はpx+qy=r2

今回はこれ自体を紹介するわけではないので証明は略します。知らなかった人はこちらの記事を参考にしてみてください。

今回考える問題

円x2+y2=r2と円の外側にある点A(p,q)について以下の問いに答えよ。(p2+q2>r2
(1) Aから円には2つの接線が引ける。それらの接点をそれぞれB,Cとする。直線BCの方程式を求めよ。
(2) 直線BC上かつ円の外側に点Dをとる。Dから円には2つの接線がひける。それらの接点をE,Fとする。このとき点Aは直線EF上にあることを証明せよ。

(1)の点Aのことを円の極といい,(1)の直線BCのことを円の極線といいます。まずは(1)を途中まで解いてみます。
極と極線

答え接点B,CをそれぞれB(s1,t1),C(s2,t2)とおく。B,Cにおける接線の方程式は
s1x+t1y=r2
s2x+t2y=r2
である。これが点A(p,q)を通るから
s1p+t1q=r2
s2p+t2q=r2
となる。

ここからB,Cが円周上の点だからs12+t12=r2,s22+t22=r2と連立させるとs1,s2,t1,t2が求まり,直線の式が求められます。ですがここで独特な考えを使います。

ここからすぐに求める直線がpx+qy=r2であるというのです。

一般に異なる2点を通る直線は1つに定まります。ということは求める直線がpx+qy=r2であることを証明するにはその直線上に異なる2点があることを言えばいいのです。

直線上に点があるということは直線の方程式に点の座標を代入した式を満たすことを示せばいいのでそれはまさに↑の答えの枠で囲まれた式になっています。よってここからすぐに結論づけられます。ではその考えを利用して続きを解答します。

答え(1)続き
これはB,Cを通る直線がpx+qy=r2であることを意味している。
よって求める方程式はpx+qy=r2
(2) D(P,Q)とおくと,(1)よりPp+Qq=r2を満たす。
(1)と同様にすると直線EFの式はPx+Qy=r2である。
よってA(p,q)を代入した式Pp+Qq=r2を満たすのでAはEF上にある。

記述方法としては赤字で書いたように「~を意味している」と書けば理解しているとみなされるでしょう。

注意すべき点は(1)の結果は最初に書いた円の接線の式と同じであることです。

たまに円外の点(p,q)に関する円の接線の式をpx+qy=r2勘違いする人がいますが,この式は接線でなく極線の方程式なのです。特に(p,q)が円周上の時は極線と接線が一致するので接線の公式になったというわけです。そう考えると面白いですね。

実際の試験では(p,q)やrには数字が代入されていることが多いです。たとえば

円x2+y2=16と点A(5,7)がある。Aから円にひいた2つの接線の接点をB,Cとするとき直線BCの方程式を求めよ。

などです。答えは5x+7y=16とすぐわかりますね。知っておくと有利になります。

この考えを知らなければ大幅時間ロスなので独特な考えですが知っておくことをおすすめします。

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