積分方程式(数IIIレベル)

上野竜生です。積分方程式の上級編として数IIIレベルの積分方程式を扱います。やり方はほぼ数IIのときと同じですがかなり難しく感じると思います。

積分方程式(数III範囲)

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復習 積分方程式の解き方(基本)

・\( \displaystyle \int_a^b f(t)dt \)は定数。
・\( \displaystyle \int_a^x f(t) dt \)にx=aを代入すると0。
・\(\displaystyle \int_a^x f(t) dt \)をxで微分するとf(x)

特に最後は原始関数をF(x)とおいて実際に微分してみることが公式理解のコツです。数IIではこれらを用いて答えが多項式になるものだけを扱いましたがこれに加え今回は

・答えが多項式以外

・積の微分や合成関数の微分,置換積分・部分積分なども使う

というだけです。(それだけで十分難しいんですが・・・)

では例題を3問解いて終わります。

例題1

次の条件を満たす関数f(x)を求めよ。
\( \displaystyle f(x)=x+\int_0^{2\pi} f(t)\cos{(x-t)} dt \)

もしこれが「cos」がなく\( \displaystyle f(x)=x+\int_0^{2\pi} f(t)(x-t)dt \)なら前回扱ったようにxを前に出し
\( \displaystyle f(x)=x+x\int_0^{2\pi}f(t)dt – \int_0^{2\pi} tf(t)dt \)
とし右辺の積分はすべて定数だから\( f(x)=x+Ax+B \)とおけるのであとは問題文の式に代入すればOKです。

cosがついたことで難易度が上がった気がしますが加法定理に気付けばcos(x-t)=cosxcost+sinxsintとなるので実質↑の解法と同じであることがわかります。計算が大変ですが解いてみましょう。

答え加法定理より
\( \displaystyle f(x)=x+\int_0^{2\pi} f(t)(\cos{x}\cos{t}+\sin{x}\sin{t} )dt\\
=\displaystyle x+\cos{x} \int_0^{2\pi} f(t)\cos{t}dt + \sin{x} \int_0^{2\pi} f(t)\sin{t}dt \)
ここで右辺の積分は定数だから
\( f(x)=x+A\cos{x}+B\sin{x} \)とおける。
これを代入すると
\(\displaystyle A=\int_0^{2\pi} f(t)\cos{t} dt\\
=\displaystyle \int_0^{2\pi} (t+A\cos{t}+B\sin{t})\cos{t} dt\\
=\pi A\)
よって\(\displaystyle A=0\)
\(\displaystyle B=\int_0^{2\pi} f(t)\sin{t} dt\\
=\displaystyle \int_0^{2\pi} (t+A\cos{t}+B\sin{t})\sin{t} dt\\
=-2\pi + \pi B\)
よって\(\displaystyle B=\frac{2\pi}{\pi-1}\)
以上より
\( \displaystyle f(x)=x+\frac{2\pi}{\pi -1}\sin{x} \)

細かい積分計算は省略しています。

例題2

\( \displaystyle \int_a^x (x-t)f(t)dt=g(x) \)
(1) f(x)をg(x)またはその微分で表せ。
(2) g(x)=logxのときf(x)とaの値を求めよ。

このタイプでは最初からg(x)に具体的な関数が入っているものが多いですが今回は一般にg(x)のまま解いてみます。基本通り(x-t)の部分を展開してxを∫の前に出します。積分区間にxがあるので微分しますがこのとき,積の微分であることに注意しましょう。

答え(1)\(\displaystyle x\int_a^x f(t)dt – \int_a^x tf(t)dt =g(x)\)の両辺をxで微分する
\(\displaystyle \int_a^x f(t)dt + xf(x) – xf(x)=g'(x) \)
\(\displaystyle \int_a^x f(t)dt =g'(x) \)の両辺をxで微分すると
\( f(x)=g”(x) \)
(2) \(\displaystyle (\log{x})’=\frac{1}{x} , (\frac{1}{x})’=-\frac{1}{x^2} \)より
\( \displaystyle f(x)=-\frac{1}{x^2} \)
問題文の式にx=aを代入するとg(a)=0
loga=0を解くとa=1

例題3

\( \displaystyle f(x)=g(x)-\int_0^x e^t f(x-t)dt \)
(1) f'(x)をg(x)またはその微分で表せ。
(2) \(\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x^2+3}\)のときf(x)を求めよ。

これもg(x)に具体的な関数が入った状態で出題されることが多いですが一般にg(x)のまま計算してみましょう。f(x-t)の積分だとxを前に出せませんがu=x-tと置換積分するとf(x-t)がf(u)になり,代わりにetがex-u=ex・e-uとなるのでe-uが前に出せます。
この発想は大学でもよく使うので大学の先生が作る入試問題では結構好まれる問題です。受験生は対策しておくべき問題となります。

答え(1)\(u=x-t\)とおいて置換積分すると
\(\displaystyle \int_0^x e^t f(x-t) dt= \int_x^0 e^{x-u} f(u) (-du) = \int_0^x e^{x-u}f(u)du\)
よって
\(\displaystyle f(x)=g(x)-e^x \int_0^x e^{-u}f(u)du \)・・・(*)の両辺をxで微分して
\( \displaystyle f'(x)=g'(x)- (e^x \int_0^x e^{-u}f(u)du + e^x\cdot e^{-x} f(x) ) \)・・・(**)
ここで(*)より(**)の( )内はg(x)と等しいので
\( f'(x)=g'(x)-g(x) \)
(2) \( \displaystyle g(x)=\frac{2x}{x^2+3}\)を(1)の結果に代入すると
\(\displaystyle f'(x)=\left( \frac{2x}{x^2+3} \right)’- \frac{2x}{x^2+3} \)

∴\( \displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+3} – \log{(x^2+3)}+ C \)
ここで,問題文の式にx=0を代入するとf(0)=g(0)=0となるのでC=log3
よって\(\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+3}-\log{\frac{3}{x^2+3}} \)

やってることは数IIとほぼ変わりませんが積の微分だったり合成関数の微分や置換積分が増えただけで難易度が上がった気がしますね。頑張って練習しましょう。

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