陰関数表示された関数のグラフの書き方

上野竜生です。陰関数表示されたグラフの書き方は無理やりでもy=±√・・・の形の陽関数にすることです。対称性を見つければy=±√・・・のプラスマイナスは片方だけ調べればよくなります。

グラフの書き方【陰関数編】

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対称性があるなら見つけたい!

書きたいグラフの「x」に「-x」を代入してもとの式と一致するか,

「y」に「-y」を代入して元の式と一致するかチェックします。その結果一致すれば次のような対称性があります。たとえばxに-xを,yに-yを代入して元の式と一致すれば原点対称となります。

x→-x
y→y
y軸対称
x→x
y→-y
x軸対称
x→-x
y→-y
原点対称

あれ?1番上の行が「x軸対称」じゃないの?と思った方は簡単な例で確認しましょう。\( y=x^2 \)はxに「-x」を代入しても同じなので1番上の行の性質を満たします。さらに\( y=x^2\)はy軸対称な放物線であることは明らかなのでこちらがy軸対称となります。

このような復元方法は少し邪道ですがそもそも何も見ずに時間制限を付けて数学をテストすること自体が邪道みたいなものなのでこの程度の覚え方で良いでしょう。

y=・・・の式に直す!

基本的に2次方程式を解くことになると思います。(テストに出るような関数の場合)

このとき対称性がわかれば±の2パターン調べなくても片方でよくなります。

それでは具体例を見ましょう。

具体例

\( y^2=x^2(4-x^2) \)

<対称性>

xに-xを代入した式\( y^2=(-x)^2(4-(-x)^2) \)はもとの式と同じなのでy軸対称

yに-yを代入した式\( (-y)^2=x^2(4-x^2) \)は元の式と同じなのでx軸対称

よってx軸にもy軸にも対称です。

(もちろんxに-x,yに-yを代入した式\( (-y)^2=(-x)^2(4-(-x)^2) \)ももとの式と同じなので原点対称でもあります。

<y=・・・に直す>

\( y=\pm x\sqrt{4-x^2} \)ですがx軸対称なのでプラスだけ調べて対称性を利用します。さらにy軸対称なので\( x\geq 0 \)だけ調べて対称性を利用することもできます。

<陽関数と同様の手順でグラフを書く>

定義域は\(  -2 \leq x \leq 2 \),x≧0より\( 0 \leq x \leq 2\)

\( f(x)=x\sqrt{4-x^2} \)とおくと
\(\displaystyle f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} \)

f'(x)=0を解くと\(\displaystyle x=\pm \sqrt{2} \)

\( \displaystyle f”(x)=\frac{-4x\sqrt{4-x^2}-(4-2x^2)\frac{-2x}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2}=\frac{-4x(4-x^2)+2x(4-2x^2)}{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

ここで分子だけ計算すると

\( -4x(4-x^2)+2x(4-2x^2)\\ =-16x+4x^3+8x-4x^3 \\=-8x \leq 0 \)

となり常に上に凸。よって増減は下の通り

\(\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \sqrt{2} & \cdots & 2 \\ \hline f’(x) &  & + & 0 & – &  \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & 2 & \searrow & 0 \end{array}\)

漸近線はなく交点は(0,0),(2,0)のみ。よってx≧0の範囲でのy=f(x)のグラフは下の通り。

リサジュー曲線第1象限

対称性より\( y^2=x^2(4-x^2) \)のグラフは下の通り。

リサジュー曲線

この曲線はリサジュー曲線と呼ばれます。媒介変数のときの書き方でもこのグラフは書きますが媒介変数より陰関数→陽関数に変換するほうが圧倒的に楽だということを覚えておきましょう。

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