上野竜生です。放物線とその法線の間の面積の最小値を紹介します。特に新しい内容もないのでサクッと流しましょう。

例題

放物線C:y=ax2(a>0)上の点Pから引いた法線をℓとする。Cとℓで囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。ただしPは原点ではないとする。
答え法線と囲まれる部分
\( P(t,t^2) \)とおく。Pから引いたCの接線の傾きは2atなので
法線の傾きは\(\displaystyle -\frac{1}{2at}\)
よって法線の方程式は
\(\displaystyle y-at^2=-\frac{1}{2at}(x-t) \)
整理すると
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2at}x + \frac{1}{2a}+at^2 \)
よってこれとCの交点のx座標は
\( \displaystyle ax^2=-\frac{1}{2at}x + \frac{1}{2a}+at^2 \)
の解。
\(\displaystyle ax^2 +\frac{1}{2at}x – \frac{1}{2a}-at^2 \\ = \displaystyle a(x-t)(x+\frac{1}{2a^2t}+t) \)
なので
解は\(\displaystyle x=t, -\frac{1}{2a^2 t}-t \)
よってCとℓで囲まれる部分の面積は
t>0のとき
\(\displaystyle \int_{-\frac{1}{2a^2 t}-t}^t a(x-t)(x+\frac{1}{2a^2 t} +t )dx \\ = \frac{a}{6}(t+\frac{1}{2a^2 t} +t )^3 \)・・・①
t<0のとき
\(\displaystyle \int_t^{-\frac{1}{2a^2 t}-t} a(x-t)(x+\frac{1}{2a^2 t} +t )dx \\ = \frac{a}{6}(-t -\frac{1}{2a^2 t} -t )^3 \)・・・②①②ともに( )の中が最小の時に面積が最小となる。
t>0のとき相加相乗平均の関係より
\( \displaystyle 2t+\frac{1}{2a^2 t} \geq 2 \sqrt{2t \cdot \frac{1}{2a^2 t} }=\frac{2}{a} \)
等号成立は\( 2t=\frac{1}{2a^2 t} \),つまりt>0より\( t=\frac{1}{2a} \)のとき。
t<0のときも(-t)>0となるから相加相乗平均の関係より
\( \displaystyle (-2t)+\frac{1}{2a^2 (-t)} \geq 2\sqrt{(-2t)(\frac{1}{2a^2(-t)})} = \frac{2}{a} \)
等号成立は\( (-2t)=\frac{1}{2a^2 (-t)} \),つまりt<0より\(t=-\frac{1}{2a} \)のとき。
①②のときの最小値は等しいので
求める面積の最小値は\(\displaystyle \frac{a}{6}(\frac{2}{a})^3=\frac{4}{3a^2} \)

微分と積分と相加相乗平均の関係が復習できる良質な典型問題でした。

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