上野竜生です。今回は直線や平面とのなす角を計算します。前提として２つのベクトルのなす角は求められているとしますが，念のために復習しておきます。
復習 ２つのベクトルのなす角
空間ベクトル\(\vec{a},\vec{b} \)のなす角をθとすると
\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
cosθがわかればθが求まることもあります。角度を問われた場合は有名角のcosになると思って良いでしょう。
「直線/平面のなす角」と「ベクトルのなす角」の関係
直線の方向ベクトルは直線の向きに沿ったベクトル。
平面ax+by+cz=dの法線ベクトル(a,b,c)は平面の向きとは90°傾いたベクトル。
よって
・「直線と直線のなす角」は２つの方向ベクトルのなす角と等しい。
・平面と平面のなす角は２つの法線ベクトルのなす角と等しい。（どちらも90°傾いてる同士なので差は一緒）
・直線と平面のなす角は法線ベクトルと方向ベクトルのなす角とは次の関係がある。
平面と直線のなす角X＝90°-θ(ベクトルのなす角)
これをしっかり覚えておきましょう。なす角は考え方によって２つできます。たとえば上の図の場合，平面の右側からはかればXですが左側からはかれば180°-Xになります。普通90°以下のほうを答えますので計算結果αが90°より大きくなった場合は180°-αを計算して90°未満にするほうがいいでしょう。
例題１ 直線と直線のなす角
x=1+3t , y=5-4t , z=-2+5tとなるのでこの直線の方向ベクトルは(3,-4,5)
z軸の方向ベクトルは(0,0,1)なのでこの2つのベクトルのなす角が求めるものである。
\(\vec{a}=(3,-4,5), \vec{b}=(0,0,1) \)とし，なす角をθとおくと
\( |\vec{a}|=5\sqrt{2} , |\vec{b}|=1 , \vec{a}\cdot \vec{b}=5 \)だから
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=5\sqrt{2}\cos{\theta}=5 \)
∴\( \theta=\frac{\pi}{4} \)
よって求める角度は\(\displaystyle \frac{\pi}{4} =45°\)
例題２ 2平面のなす角
-x+2y+z=-2の法線ベクトルは(-1,2,1)
\(\vec{a}=(1,1,2), \vec{b}=(-1,2,1) \)とし，なす角をθとおくと
\( |\vec{a}|=\sqrt{6} , |\vec{b}|=\sqrt{6} , \vec{a}\cdot \vec{b}=3 \)だから
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=6\cos{\theta}=3 \)
∴\( \theta=\frac{\pi}{3} \)
よって求める角度は\(\displaystyle \frac{\pi}{3} =60°\)
例題３ 直線と平面のなす角
直線の方向ベクトルは(-5-(-3) , 1-(-2) , 0-(-1) ) = (-2,3,1)
\(\vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(-2,3,1) \)とし，なす角をθとおくと
\( |\vec{a}|=\sqrt{14} , |\vec{b}|=\sqrt{14} , \vec{a}\cdot \vec{b}=7 \)だから
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=14\cos{\theta}=7 \)
∴\( \theta=\frac{\pi}{3} \)
よって求める角度は\(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6} =30°\)
あまり見かけない問題です。私立大学の一部では出るかもしれませんが真剣に暗記するほどでもないかと思います。
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