関数の極限その3 (三角関数の極限・sinx/xなどの導出と応用)

上野竜生です。今回は関数の極限の中でsinx/xに関連するものを紹介します。

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\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x} \)の導出

\(0<x<\frac{\pi}{2}\)のとき

sinx/x→1の証明参考図
上の図の面積において
△OAB<赤い部分の扇形<△OBCなので
\(\displaystyle \frac{1}{2}\sin{x} < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan{x} \)
つまり
\( \sin{x}<x<\tan{x} \)
\(\displaystyle \frac{\sin{x}}{\tan{x}}<\frac{\sin{x}}{x} < \frac{\sin{x}}{\sin{x}} \)
\(\displaystyle \cos{x}<\frac{\sin{x}}{x}<1 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} \cos{x}=1 \)なのでハサミウチの原理から
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{\sin{x}}{x} =1 \)

\(-\frac{\pi}{2}<x<0\)のとき

t=-xとおくと
\(\displaystyle \lim_{x\to -0} \frac{\sin{x}}{x} =\lim_{t \to +0} \frac{\sin{(-t)}}{-t}=\lim_{t \to +0} \frac{\sin{x}}{x}=1 \)

よって
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\to -0} \frac{\sin{x}}{x}=1\)だから
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1 \)

導出はあまり重要ではありません。そもそもsinxが図形的に定義されているのが厳密な証明に不向きなのでこの証明はやや嫌われています。大学になるとsinxの定義が図形的定義でなくなるので証明が好かれます。

重要なのは結果です。

POINT\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1 \)

いくつか応用例を見ていきましょう。

例題1 基本的な問題

次の極限を求めよ
(1) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\sin{5x}} \)(2) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan{7x}}{\sin{4x}} \)

(3) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos{x}} \)

慣れればx→0のときはsin(ax)もtan(ax)もaxと同じぐらいだとわかるのですぐに結果は見えますがあくまでも不定形を解消した式を明示することが重要です。

答え(1) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\sin{5x}} = \lim_{5x\to 0} \frac{1}{\frac{\sin{5x}}{5x}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{1}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5} \)

(2) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan{7x}}{\sin{4x}}= \lim_{x\to 0} \frac{\sin{7x}}{\cos{7x}} \cdot \frac{1}{\sin{4x}} \\ \displaystyle = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos{7x}} \cdot \frac{\sin{7x}}{7x}\cdot \frac{1}{\frac{\sin{4x}}{4x}} \cdot \frac{7}{4} \\ \displaystyle = \frac{1}{1} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{7}{4}=\frac{7}{4} \)

正確には
\(\displaystyle \lim_{7x \to 0} \frac{\sin{7x}}{7x}=1 \)
と書くべきですがx→0のとき7x→0なので
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{7x}}{7x}=1 \)
も成り立ちます。

答え(3) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1-\cos{x}} = \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2(1+\cos{x})}{(1-\cos{x})(1+\cos{x})} \\ \displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin{x}} \cdot \frac{x}{\sin{x}} \cdot (1+\cos{x}) =1\cdot 1 \cdot 2=2\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{x}}=\lim_{x\to 0} \frac{1}{\frac{\sin{x}}{x}}=1 \)
は既知としています。

次は最初の公式と一見同じに見えますが少し違う引っ掛け問題です。どちらも高校範囲でしっかり求められるので1度求めておきましょう。

例題2

次の極限を求めよ。
(1) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x°}}{x} \)
(2) \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\sin{x}}{x} \)
答え(1) \(\displaystyle x°=\frac{\pi x}{180} \)radなので
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{(\frac{\pi}{180}x)}}{x}= \lim_{\frac{\pi}{180}x \to 0} \frac{\sin{(\frac{\pi}{180}x)}}{\frac{\pi}{180} x} \cdot \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{180} \)
(2) \( -1 \leq \sin{x} \leq 1 \)なので
\(\displaystyle \frac{-1}{x} \leq \frac{\sin{x}}{x} \leq \frac{1}{x} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{-1}{x}= 0 \)
なのでハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\sin{x}}{x}=0 \)

最後に応用問題をお見せします。一見難しそうですが置換すればできますよ。

応用問題

次の極限を求めよ。
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{2x-\pi}\sin{(\frac{1}{\tan{x}})} \)
\(\displaystyle x \to \frac{\pi}{2} \)であることや分母の\( 2x-\pi \)を見る限り\(\displaystyle x-\frac{\pi}{2}=t \)とおけば\( t \to 0 \)になったり分母が2tになってくれて公式が見えてきそうです。
答え\(\displaystyle x-\frac{\pi}{2}=t \)とおくと\(\displaystyle x\to \frac{\pi}{2} \)のとき\( t \to 0\)で、\(\displaystyle x=t+\frac{\pi}{2} \)なので
\(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{2t}\sin{(\frac{1}{\tan{(t+\frac{\pi}{2})}})} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2t} \sin{(-\tan{t})} \)
ここでt→0のときtant→0であるから
\(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sin{(-\tan{t})}}{-\tan{t}}=1 \)であることに注意すると
\(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sin{(-\tan{t})}}{2t}=\lim_{t \to 0} \frac{\sin{(-\tan{t})}}{(-\tan{t})}\cdot \frac{-\tan{t}}{2t} \\ \displaystyle =\lim_{t \to 0} \frac{\sin{(-\tan{t})}}{(-\tan{t})}\cdot \frac{\sin{t}}{t} \cdot \frac{-1}{2\cos{t}} = 1\cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle \tan{(t+\frac{\pi}{2})} = \frac{\sin{(t+\frac{\pi}{2})}}{\cos{(t+\frac{\pi}{2})}} \\ =\displaystyle \frac{\sin{t}\cos{\frac{\pi}{2}} + \cos{t}\sin{\frac{\pi}{2}}}{\cos{t}\cos{\frac{\pi}{2}} – \sin{t}\sin{\frac{\pi}{2}}}=\frac{\cos{t}}{-\sin{t}}=-\frac{1}{\tan{t}} \)

最後の応用問題までできるようになればなかなか実力がついています。頑張りましょう。

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