円柱の切断の体積

上野竜生です。今回はよくある円柱を45度に切断したときの体積の求め方を紹介します。一般的な参考書とは違い,数式で扱うので空間認識能力はたいして必要ではない解法を紹介します。

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例題

半径2の円を底面とする円柱がある。底面の円周を3等分しA,B,Cとする。線分ABを通り底面と45°をなす平面で円柱を切断する。(どちら向きに45°に切断するかで2通り考えられることに注意)
(1) 底面のCを含まない側を含む立体の体積を求めよ。
(2) Cを含む立体の体積を求めよ。
円柱の切断

このタイプの問題ではよく図形をかいてうまく切断すれば直角三角形になる・・・などと紹介されることが多いです。ですが空間認識力が非常に重要になってきてどうしても切断面の形を想像できない人もいると思います。そこで数式で処理する方法を教えます。

底面がxy平面上にある円\( x^2+y^2=4 \)であるとし\( A(1,\sqrt{3},0) , B(1,-\sqrt{3},0),C(-2,0,0) \)としても一般性を失わない。切断面の平面の方程式は(1)ではz=x-1, (2)ではz=1-xとなっていることに注意

(1)

求める領域は\( x^2+y^2 \leq 4 , 0\leq z \leq x-1 \)である。

ア x=tで切断する

切断面は\( -\sqrt{4-t^2} \leq y \leq \sqrt{4-t^2} , 0\leq z \leq t-1 \)なので面積S(t)は
\( S(t)=2\sqrt{4-t^2}(t-1) \)

tの範囲は1つ目の式から\( -2\leq t \leq 2\),2つ目の式から\( 0 \leq t -1 \)なので\( 1\leq t \leq 2\)

円柱の切断面ア
体積は\(\displaystyle \int_1^2 2(t-1)\sqrt{4-t^2}dt \)
\(t=2\sin{\theta}\)とおくと
\(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 2(2\sin{\theta}-1)2\cos{\theta}\cdot 2\cos{\theta} d\theta \\ \displaystyle = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 16\cos^2{\theta}\sin{\theta} d\theta – \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 4(\cos{2\theta}+1)d\theta \\ \displaystyle = \left[ -\frac{16}{3} \cos^3{\theta} \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} – \left[ 2\sin{2\theta} +4\theta \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ \displaystyle = \frac{16}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3-2\pi + \sqrt{3}+\frac{2}{3} \pi = 2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi+\sqrt{3} \\ \displaystyle =3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)

イ y=tで切断する

切断面は\( -\sqrt{4-t^2} \leq x \leq \sqrt{4-t^2}, 0 \leq z \leq x-1 \)なのでその面積は
\(\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(\sqrt{4-t^2}-1)^2 = \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2 – \sqrt{4-t^2}\)

tの範囲は図より\( 1\leq \sqrt{4-t^2} \)なので\( -\sqrt{3}\leq t \leq \sqrt{3} \)

円柱の切断面イ
体積は偶関数の積分であることに注意すると
\(\displaystyle \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2-\sqrt{4-t^2}dt = 2\int_0^{\sqrt{3}}\frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2-\sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = \left[ 5t-\frac{1}{3}t^3 \right]_0^{\sqrt{3}} – \frac{4}{3}\pi -\sqrt{3} \\ \displaystyle = 5\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi – \sqrt{3}=3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)

途中の積分
途中の積分を省略してますが図より
\(\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2}dt \)
は図の赤色部分の面積で扇形+三角形で求められるので
\(\displaystyle \frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2} \)となります。

ウ z=tで切断する

切断面は\( x^2+y^2\leq 4 , x \geq t+1 \)なのでその面積は
(扇形)-(三角形)の面積で
\( S(t)=4\theta – 4\sin{\theta}\cos{\theta} \) ただし\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{t+1}{2} \)

tの範囲は\( 0 \leq t \leq x-1 \)なので\( t\geq 0 \)
また図より\( t+1 \leq 2 \)なので\( t\leq 1\) 以上より\( 0 \leq t\leq 1\)

円柱の切断面エ
体積は
\(\displaystyle \int_0^1 4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta}dt = \int_{\frac{\pi}{3}}^0 (4\theta – 4\sin{\theta}\cos{\theta})(-2\sin{\theta})d\theta \\ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} 8\theta \sin{\theta}-8\sin^2{\theta}\cos{\theta} d\theta \\ \displaystyle = \left[ -8\theta\cos{\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} + \int_0^{\frac{\pi}{3}} 8\cos{\theta}d\theta – \left[ \frac{8}{3}\sin^3{\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \\ \displaystyle = -\frac{4}{3}\pi + \left[ 8\sin{\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} – \frac{8}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \\ \displaystyle = -\frac{4}{3}\pi + 4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)

この問題ならア・イのどちらでやっても楽ですね。よく参考書に載ってるのは直感的に切り口をイメージして直角三角形になるイの解法だと思います。ウは大変ですが難問が出たときに対処するためにはウのやり方も学ぶ必要があります。

(2)

求める領域は\( x^2+y^2 \leq 4, 0 \leq z \leq 1-x \)である。

ア x=tで切断する

\(-\sqrt{4-t^2}\leq y \leq \sqrt{4-t^2} , 0\leq z \leq 1-t \)
面積は\(\displaystyle S(t)=2(1-t)\sqrt{4-t^2} \)

tの範囲は\( -2\leq t \leq 2\)かつ\( 0 \leq 1-t \)なので\( -2\leq t \leq 1\)

円柱の切断(2)ア
体積は
\(\displaystyle \int_{-2}^1 2(1-t)\sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} 2(1-2\sin{\theta})2\cos{\theta}\cdot 2\cos{\theta} d\theta \\ \displaystyle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} -16\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} 4(\cos{2\theta}+1)d\theta \\ \displaystyle = \left[ \frac{16}{3}\cos^3{\theta} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} + \left[ 2\sin{2\theta}+4\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} \\ \displaystyle = \frac{16}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 + \sqrt{3}+\frac{2}{3}\pi+2\pi =3\sqrt{3}+\frac{8}{3} \pi \)

イ y=tで切断する

\( -\sqrt{4-t^2} \leq x \leq \sqrt{4-t^2} , 0\leq z \leq 1-x\)
面積は
\( -\sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3}\)のとき
\(\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(\sqrt{4-t^2}+1)^2= \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2+\sqrt{4-t^2} \)
\( \sqrt{3} \leq |t| \leq 2\)のとき
\(\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(1+\sqrt{4-t^2}+1-\sqrt{4-t^2})(\sqrt{4-t^2}+\sqrt{4-t^2}) =2\sqrt{4-t^2} \)

円柱の切断(2)イ1個目円柱の切断(2)イ2個目
よって体積はS(t)が偶関数であることに注意すると
\(\displaystyle S(t)=2\int_0^{\sqrt{3}} \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2+\sqrt{4-t^2}dt+2\int_{\sqrt{3}}^2 2\sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = 2\left[ \frac{5}{2}t-\frac{1}{6}t^3 \right]_0^{\sqrt{3}} + (2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2}dt + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt ) + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = 5\sqrt{3}-\sqrt{3} + 2\pi + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle =4\sqrt{3}+2\pi + 2\left( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)= 3\sqrt{3}+\frac{8}{3} \pi \)

\(\displaystyle (2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2}dt + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt ) = 2\int_0^2 \sqrt{4-t^2}dt \)
は半径2の円の面積の半分なので2π。また,
途中の計算
図より\(\displaystyle \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt = \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \)

ウ z=tで切断する

切り口は\( x^2+y^2\leq 4 , 0 \leq t \leq 1-x \)

面積は\(S(t)=4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta} \) ただし\(\displaystyle \cos{\theta}=-\frac{1-t}{2}=\frac{t-1}{2} \)

1-t>0つまりt<1のときは図の縦線がy軸より右に来ます。つまり斜線部の面積は扇形+三角形という風に符号が変わるので場合分けして考えます。ですが三角関数に変換するとその符号の変化もまとめて1つの式で書けます。
tの範囲は\( 0\leq t \leq 1-x \)でxの範囲が\( -2 \leq x \leq 2 \)なので\( 0 \leq t \leq 3\)となります。

円柱の切断(2)ウ
体積は
\(\displaystyle \int_0^3 4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta}dt = \int_{\frac{2}{3}\pi}^0 (4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta})\cdot (-2\sin{\theta})d\theta \\ \displaystyle = \int_0^{\frac{2}{3}\pi} 8\theta\sin{\theta}-8\sin^2{\theta}\cos{\theta}d\theta \\ \displaystyle = [-8\theta \cos{\theta}]_0^{\frac{2}{3}\pi} + \int_0^{\frac{2}{3}\pi} 8\cos{\theta}d\theta- \left[ \frac{8}{3}\sin^3{\theta} \right]_0^{\frac{2}{3}\pi} \\ \displaystyle = \frac{8}{3}\pi + [8\sin{\theta}]_0^{\frac{2}{3}\pi}-\frac{8}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 \\ \displaystyle =\frac{8}{3}\pi +4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}+\frac{8}{3}\pi \)

(2)独特の考え方

高さが2のところで2つに切断する。

上側の部分は(1)と全く同じ形なので(1)より\(\displaystyle 3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)
下側の部分は求める部分と求めない部分が全く同じ形なので円柱の体積を2で割ればよい。
\(\displaystyle 4\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=4\pi \)
合わせて\(\displaystyle 3\sqrt{3}+\frac{8}{3}\pi \)

(2)はアしか計算が楽ではありません。イは場合分けが必要ですしウはめちゃくちゃ考えることが多いです。(1)をイで解いた人は(2)をアで解くかエのアイデアを使うかそれとも場合分けしてイの考えを使うか悩みどころとなります。
全パターンの解法を書いたので非常に疲れましたが皆さんもぜひ全パターンで解けるように頑張ってみてくださいね。計算が面倒な人は積分による立式までできるか確かめてみましょう。

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