直線に関する対称移動

上野竜生です。直線に関する対称移動を扱います。結果だけほしい場合の組み立て方と記述力もしっかりしたい場合の2パターンの解法を扱います。

直線に関する対称移動

z,αを複素数とし複素数平面上でz,αが表す点をそれぞれP(z),P(α)とする。複素数平面上で原点とP(α)を通る直線をlとする。直線lに対してP(z)と対称な点をP(z’)とするときz’を\( \bar{z},\alpha , \bar{\alpha}\)で表せ。
対称移動
答え絶対値と偏角を定めれば決まるのでそれで考えてみます。
絶対値は|z|と同じ・・・①
原点をOとするときOP(z’)とOP(z)の二等分線がl つまりargz’+argz=2argα・・・②
②よりzz’=rα2とおける。(rは実数)
よって\(\displaystyle z’=r\frac{\alpha^2}{z} \)
両辺の絶対値をとると①より|z|=|z’|だから\( \displaystyle r=\frac{|z|^2}{|\alpha|^2} \)
これを代入すると
\(\displaystyle z’=\frac{|z|^2}{|\alpha|^2} \cdot \frac{\alpha^2}{z} =\frac{z \bar{z} \alpha^2}{\alpha \bar{\alpha} z}=\frac{\alpha}{\bar{\alpha}}\bar{z} \)
ちなみにargは0付近や2π付近で不連続になり場合分けが必要になることもありますが②についてはargz’=2argα-argzとなるので問題ありません。
(argα=A+2nπ,argz=B+2mπとおくと2argα-argz=2A-B+2(2n-m)πなので2A-Bと同一視できる)

別解

step1 -argα回転して直線lを実軸に重ねる
step2 実軸に関して対称移動させる
step3 argα回転させる

zを-argα回転させる
argα=θとするとα=|α|(cosθ+isinθ)なので\( \displaystyle \frac{\alpha}{|\alpha|}\)をかけるとθ回転する。
よって\( \displaystyle \frac{\alpha}{|\alpha|}\)でわると-θ回転する。
∴zを-argα回転移動させた点は\( \displaystyle \frac{|\alpha|}{\alpha} z \)
実軸に関して対称移動させるには共役な複素数をとればいいので
\( \displaystyle \overline{\frac{|\alpha|}{\alpha} z} = \frac{|\alpha|}{\bar{\alpha}} \bar{z} \)
これをargα回転移動させると
\(\displaystyle z’= \frac{\alpha}{|\alpha|}\cdot \frac{|\alpha|}{\bar{\alpha}} \bar{z}=\frac{\alpha}{\bar{\alpha}} \bar{z} \)

別解のほうが一般的な解法です。3つのstepを覚えてもstep1やstep2の具体的な方法も少し変わった知識なので別解を覚えておくと良いでしょう。ただ証明不要で結果を思い出したいときは最初の模範解答のほうが比較的簡単な知識で導くことができると思います。

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする