上野竜生です。数IIIの「分数関数」などの章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。

解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題は選択問題にしかありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

問題PDFはこちら

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第1問(40点)

(1) 分数関数\(\displaystyle y=\frac{8x+1}{2x-6}\)の定義域は\(x\neq \)[ア],値域は\(y\neq \)[イ]である。

(2) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)とするとき\((f\circ f)(x)\)の定義域は\(x \geq \)[ウ],値域は\((f\circ f)(x) \geq [エ] \)である。

(3) \(f(x)=x^2-3,g(x)=x^2+4\)のとき
\((f\circ g)(x)=x^2+ [オ] x+ [カ] ,\\ (g\circ f)(x)=x^2+ [キ] x+ [ク] \)
である。ただし負の整数が入ることもある。

(4) \( x> 0\)のとき\(f(x)=x^3+x^2\)の逆関数を\(f^{-1}(x)\)とするとき\(f^{-1}(2)=\)[ケ]であり\(f(x)=f^{-1}(x)\)となるxは
\(\displaystyle x=\frac{[コ] +\sqrt{[サ]}}{[シ]}\)である。

(5) \(\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-1} \)とする。\(y=f(f(x))\)と\(y=kx-3\)の共有点の個数が1個となるような実数kは全部で[ス]個ある。

 

第2問(20点)

\(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{7x+a}\)とする。ただしaは正の定数である。

(1) \(\displaystyle (f\circ f)(x)=\frac{-[セ]x – [ソ]a- [タ]}{([チ]a+[ツ])x+(a^2-[テ])} \)

(2) \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{-ax-[ト]}{[ナ]x – [ニ]} \)

(3) \((f\circ f)(x)=f^{-1}(x) \)のとき\(\displaystyle f^{100}(x)=\frac{x-[ヌ]}{[ネ]x+[ノ]} \)

ただし\( f^{100}(x) \)とはfを100回合成させた関数である。

 

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第3問(20点)

-100以上100以下の整数xの中で次の不等式をみたすものはいくつあるか?

(1) \(\displaystyle \sqrt{x+1} \geq x-5 \)  [ハ]個

(2) \(\displaystyle \frac{2x-2}{x-3} \geq x-5 \)  [ヒ]個

(3) \(\displaystyle \frac{2x-2}{x-3}\geq \sqrt{x+1} \)  [フ]個

 

第4問(20点)

(x,y)が\( (x-2)^2+(y-4)^2=2 \)を満たしながら動く。

(1) \(\displaystyle \frac{x-y}{x+y} \)の最大値は[ヘ],最小値は\(\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}\)である。

(2) \(\displaystyle \frac{4x^2-2xy+y^2}{4x^2+2xy+y^2} \)の最小値は\(\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}\)である。

(問題は以上で終わりである)

解答用紙

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