当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。aのb乗とbのa乗に関する問題はたまに出るのでここで解き方を紹介します。

 

aのb乗とbのa乗の大小比較や整数解など応用パターン

例題

99100と10099ではどちらが大きいか?

こういう問題の解き方はある関数f(x)をおいてf(99)とf(100)の大小比較の話に持ち込み,99≦x≦100で増加関数か減少関数かを調べることです。ではどういう関数がいいでしょうか?
このまま変形してもできますが対数をとると話は早そうです。ここで両方に対数を取ってみます。
100log99 , 99log100
ここから両辺を99×100で割ると・・・
\( \displaystyle \frac{\log{99}}{99} , \frac{\log{100}}{100} \)
となりました。これで\(f(x)=\frac{\log{x}}{x}\)とおいて微分すればいいことがわかります。

答え\( f(x)=\frac{\log{x}}{x} \)とおくと
\( \displaystyle f'(x)=\frac{1-\log{x}}{x^2} \)
よってx>eではf'(x)<0なので単調減少。
ゆえにf(99)>f(100)

\( \displaystyle \frac{\log{99}}{99}>\frac{\log{100}}{100} \)の両辺
99×100をかけると
100log99>99log100
よってlog99100>log10099となり99100>10099

例題2:ab=baの自然数解(a,b)を求めよ。ただしa≠bとする。

\( f(x)=\frac{\log{x}}{x} \)とおくとf(a)=f(b)にならないといけません。つまりf(x)=f(a)(=kとおく)がx=a以外に解をもつということですからy=f(x)とy=kの交点の数が2つ以上ないといけません。それに注意して解答を作成します。なお,\( y=\frac{\log{x}}{x} \)のグラフの書き方については陽関数のグラフの書き方の例3に挙げているので細かい微分の結果などは省略し,増減表とグラフの結果のみを示します。

答え\( f(x)=\frac{\log{x}}{x} \)とおくと増減表・グラフは下の通り
例題3の増減表

陽関数のグラフ3

よってy=f(x)とy=kが2つの交点をもつのは\( 0<k<\frac{1}{e} \)のときであり,このときの交点のx座標が問題文のa,bでありa<bとすると1<a<e,b>eが成り立つ。
a,bは整数だからa=2でしかありえない。
f(2)=f(4)よりb=4であり,y=f(x)とy=f(2)の交点は2つだからこれ以外に解はない。
よってa>bの場合も含めて(a,b)=(2,4),(4,2)

初見では解きにくいです。私も最初はどう解くかわかりませんでした。慣れればこの発想はスムーズにできるようになります。あくまでも過程を大事にしてください。それでは応用問題を出して終わりにします。

広告

問題

0.20212021と0.20222022ではどちらが大きいか?

f(x)=x1000xとおき,f(0.2021)とf(0.2022)の大小比較をすればいいとわかりますね?

xのx乗のタイプなので微分するときは対数微分を使います。

答えf(x)=x1000xとおく。
両辺に自然対数を取るとlogf(x)=1000xlogx
両辺をxで微分すると\( \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=1000\log{x}+1000 \)
よって\( f'(x)=1000x^{1000x}(\log{x}+1) \)

よって\( 0<x<\frac{1}{e} \)ではf'(x)<0であり単調減少
0.2021,0.2022はこの区間の中だからf(0.2021)>f(0.2022)
よって0.20212021>0.20222022

これは最初計算する前,予想を裏切られました。どうしても22<33<44<・・・の感覚で指数部分もそうじゃないほうも両方大きくなるから0.20222022のほうが大きそうと思ってしまいますね・・・。微分を使って証明できる面白い事実だと思います。

 

100101と101100ではどちらが大きい?
100の101乗
101の100乗

正解です !

間違っています !

√2の√3乗と√3の√2乗ではどちらが大きい?
ルート2のルート3乗
ルート2のルート3乗
ルート3のルート2乗
ルート3のルート2乗

正解です !

間違っています !

π:円周率

2πとπ2ではどちらが大きい?
2のπ乗
πの2乗

正解です !

間違っています !

あなたの結果を表示するためにクイズを共有 !

Subscribe to see your results

aのb乗=bのa乗

%%total%% 問中 %%score%% 問正解でした !

%%description%%

%%description%%

Loading...

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。