連続か?微分可能か問題

上野竜生です。今回は関数f(x)が連続か?また微分可能か?という問題について紹介します。

連続か?微分可能か?問題

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連続

関数f(x)がx=aで連続であるとは\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=f(a) \)が成り立つこと。
関数f(x)が連続であるとは定義域内のすべての点で連続であること。

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\)が存在しない場合は門前払いです。(つまり不連続)

微分可能

関数f(x)がx=aで微分可能であるとは\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \)が存在すること。
関数f(x)が微分可能であるとは定義域内のすべての点で微分可能であること。

この定義はしっかり理解しましょう。微分の勉強が終わった頃には記憶がなくなっているかと思いますので要復習です。(とはいえ滅多に出題されませんが)

定理

f(x)が微分可能ならば連続である。

[証明]

\(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\alpha \)が存在したとする。
このとき\(\displaystyle \lim_{x\to a} \{f(x)-f(a) \}=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot \lim_{x \to a} (x-a) = \alpha \cdot 0 =0 \)
よって\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x\to a} f(a)=f(a) \)となり連続である。

このことから微分可能の定義に
連続かつ\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \)が存在」としても良いことがわかります。
なお連続だからと言って微分可能とは限りません。

例題1

f(x)=|x|はx=0で連続か?またx=0で微分可能か?
答え\(\displaystyle \lim_{x \to +0} f(x)=\lim_{x \to +0} x = 0 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} f(x)=\lim_{x \to -0} (-x) = 0 \)
より\(\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0 =f(0)\)
よってx=0で連続である。
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to +0} \frac{x-0}{x}=1 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to +0} \frac{-x-0}{x}=-1 \)
より\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)は存在しない。
ゆえにx=0で微分可能ではない。

例題2

\( \begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases}  x^2 & ( x \neq 0 ) \\ 1 & ( x =0 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)はx=0で微分可能か?

定義をしっかり覚えているか試す問題です。
\(f'(x)=2x \)なので\(\displaystyle \lim_{x \to 0} f'(x)=0\)が存在するというのは誤りです。
・f(x)はx=0で連続でないので当然微分可能でもないというのは正しいです。
きっちり定義に従って考えます。

答え\(\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to +0} \frac{x^2-1}{x}=-\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to -0} \frac{x^2-1}{x}=\infty \)
となり\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)は存在しないからx=0で微分可能ではない。

例題3

\( \begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x^2\sin{\frac{1}{x}} & ( x \neq 0 ) \\ 0 & ( x=0 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)はx=0で連続か?またx=0で微分可能か?
答え\(\displaystyle -x^2 \leq x^2\sin{\frac{1}{x}} \leq x^2 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} -x^2=\lim_{x \to 0} x^2 = 0 \)なのでハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0 = f(0) \) ∴連続。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} x\sin{\frac{1}{x}} \)である。
\(\displaystyle -x \leq x\sin{\frac{1}{x}} \leq x \)であり
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} (-x) = \lim_{x\to 0} x =0 \)だからハサミウチの原理より\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0 \)は存在する。
よって微分可能。
合成関数の微分などを使い
\(\displaystyle f'(x)=2x\sin{\frac{1}{x}}-\cos{\frac{1}{x}} \)を求めてからx→0の極限を取ろうとすると存在しなくなりますがあくまでも微分可能の定義に忠実に従えば極限は存在します。

例題4

\( \begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x^2 & ( x \leq 1 ) \\  ax+b& ( x>1 ) \end{cases} \end{eqnarray} \)がx=1で微分可能となるような定数a,bの値を求めよ。

微分可能ならば連続なのでまず連続の条件を調べましょう。

答え\(\displaystyle f(1)=\lim_{x \to 1-0} f(x)=1 \)なので\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)=a+b=1 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1-0} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2 \)なので\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle \lim_{x\to 1+0} \frac{ax+b-1}{x-1}\\=\displaystyle \lim_{x\to 1+0} \frac{a(x-1)}{x-1}=a=2 \)
(a+b=1よりb-1=-a) ∴a=2, b=-1

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