媒介変数・極座標で表された領域の面積

上野竜生です。今回は媒介変数・極座標で表された領域の面積を求めます。面積の公式についてはこちらのまとめページで確認してください。

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例題

極方程式 r=1+cos2θで囲まれる面積を求めよ。

グラフを求める

ここは微分の範囲なので今回の本質ではありません。結果だけ見てしまってもOKです。

まず対称性を見つけます。
1+cos2(π-θ)=1+cos2θよりy軸対称
1+cos2(-θ)=1+cos2θよりx軸対称です。
よって\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \)の部分だけ考えれば良い。

\( x=(1+\cos{2\theta})\cos{\theta}=2\cos^3{\theta} \)
\( y=(1+\cos{2\theta})\sin{\theta}=2\cos^2{\theta}\sin{\theta} \)

\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-6\cos^2{\theta}\sin{\theta}\leq 0 \)よりxは単調減少

\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=-4\cos{\theta}\sin^2{\theta}+2\cos^3{\theta}\\ = -4\cos{\theta}+6\cos^3{\theta} \)

よって\( \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{3} \)となるαで極大値をとる。

増減表は

\( \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline \frac{dx}{d\theta} & 0 & – & – & – & 0 \\ \hline x & 2 & ← & \frac{4\sqrt{6}}{9} & ← & 0 \\ \hline \frac{dy}{d\theta} & + & + & 0 & – & 0 \\ \hline y & 0 & ↑ & \frac{4\sqrt{3}}{9} & ↓ & 0 \end{array}\)

よってグラフは下の通り

r=1+cos2θ

極方程式で面積を求める

\(\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}r^2 d\theta =\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1+2\cos{2\theta}+\cos^2{2\theta})d\theta \\ \displaystyle [\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{2}\sin{2\theta} ]_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} \frac{\cos{4\theta}+1}{4}d\theta \\ \displaystyle \pi + [\frac{1}{16} \sin{4\theta} + \frac{1}{4}\theta ]_0^{2\pi} = \frac{3}{2}\pi \)

媒介変数に直して面積を求める

対称性より第1象限の面積を求めて4倍すればよい。

\(\displaystyle 4\int_0^1 y dx  \\ = \displaystyle 4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 2\cos^2{\theta}\sin{\theta} (-6\cos^2{\theta}\sin{\theta}) d\theta \\ \displaystyle = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} 12\cos^4{\theta}\sin^2{\theta}d\theta \)
\(\displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 48\cos^4{\theta}-48\cos^6{\theta} d\theta \\ =\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 12(1+\cos{2\theta})^2 – 6(1+\cos{2\theta})^3 d\theta \\ =\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 6+ 6\cos{2\theta} -6 \cos^2{2\theta} – 6\cos^3{2\theta} d\theta \\ = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 6-6\cos^2{2\theta}d\theta \)

∵図より\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos{2\theta}d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{2\theta}d\theta=0 \)
対称性から積分は0

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 6-3-3\cos{4\theta}d\theta = \frac{3}{2}\pi \)

いかがでしたか。媒介変数のほうがいろいろできるのですが手間がかかります。極座標で面積を求めれたらそっちのほうが圧倒的に楽ですね。

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