アルキメデスの螺旋の性質

上野竜生です。極方程式r=θで表される曲線をアルキメデスの螺旋といいます。この性質を紹介します。

アルキメデスの螺旋

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定義

極方程式r=θで表される曲線アルキメデスの螺旋という。

アルキメデスの螺旋

性質

アルキメデスの螺旋のθ=0からaまでの面積は\(\frac{1}{6}a^3 \)

表している部分

[証明]
\(\displaystyle \int_0^a \frac{1}{2}r^2 d\theta = \int_0^a \frac{1}{2} \theta^2 d\theta \\
=\displaystyle \left[ \frac{1}{6}\theta^3 \right]_0^a =\frac{1}{6} a^3 \)

アルキメデスの螺旋のθ=0からaまでの曲線の長さは\(\frac{1}{2}\{a\sqrt{a^2+1} +\log{(a+\sqrt{a^2+1})} \} \)

[証明] r=θより\(\frac{dr}{d\theta}=1 \)
\(\displaystyle \int_0^a \sqrt{r^2+ \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} d\theta = \int_0^a \sqrt{\theta^2 +1} d\theta \\
=\left[ \frac{1}{2}\{\theta \sqrt{\theta^2+1} +\log{(\theta+\sqrt{\theta^2+1})} \} \right]_0^a \\
=\frac{1}{2}\{a\sqrt{a^2+1} +\log{(a+\sqrt{a^2+1})} \} \)

なお不定積分の計算は難しくて別のページにまとめていますのでわからない人はこちらを参考にしてください。結果だけ書いています。結果が合ってるか気になる人は積分後の式を微分して積分前のになるか確かめてくださいね。

ここまでは極方程式で書かれた面積や曲線の長さについて知っていることが前提でしたが知らない人は媒介変数に直せば解けます。以下の例題を見てみましょう。

例題

極方程式r=θで表される図形をCとする。
(1) Cの0≦θ≦πの部分とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。
(2) Cの0≦θ≦aの部分の曲線の長さは放物線\( y=\frac{1}{2}x^2 \)の0≦x≦aの部分の長さと等しいことを証明せよ。

表している部分

上の結果を知っていればa=πを代入するだけで答えは\(\frac{1}{6}\pi^3 \)とわかりますがそれを使わず媒介変数で解きます。

答え媒介変数表示するとx=θcosθ,y=θsinθとなる。
(1) 0≦θ≦πの範囲でx座標が最大となるときのθの値をαとすると求める面積は
\(\displaystyle \int_{\theta=\pi}^{\theta=\alpha} y dx – \int_{\theta=0}^{\theta=\alpha} y dx \\
=\displaystyle \int_{\theta=\pi}^{\theta=0} y dx \)
ここで\( \frac{dx}{d\theta}=\cos{\theta}-\theta \sin{\theta} \)なので求める面積は
\(\displaystyle \int_{\pi}^0 (\theta \sin{\theta}) (\cos{\theta}-\theta \sin{\theta})d\theta\\
=\displaystyle \int_{\pi}^0 \theta \sin{\theta}\cos{\theta} – \theta^2 \sin^2{\theta} d\theta \\
=\displaystyle \int_{\pi}^0 \frac{1}{2}\theta \sin{2\theta} – \frac{1}{2}\theta^2 + \frac{1}{2}\theta^2 \cos{2\theta} d\theta \)
ここで
\(\displaystyle \int_0^{\pi} \theta^2 \cos{2\theta} d\theta \\
=\displaystyle \left[ \frac{1}{2}\theta^2 \sin{2\theta} \right]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} \theta \sin{2\theta} d\theta \\
=\displaystyle -\int_0^{\pi} \theta \sin{2\theta} d\theta \)
より
\(\displaystyle \int_0^{\pi} ( \theta^2 \cos{2\theta} + \theta \sin{2\theta} )d\theta = 0 \)
これを使うと求める面積は
\(\displaystyle \int_{\pi}^0 \frac{1}{2}\theta \sin{2\theta} – \frac{1}{2}\theta^2 + \frac{1}{2}\theta^2 \cos{2\theta} d\theta \\
=\displaystyle \int_0^{\pi } \frac{1}{2}\theta^2 d\theta \\
=\displaystyle \left[ \frac{1}{6}\theta^3 \right]_0^{\pi} = \frac{1}{6} \pi^3 \)
(2) 放物線の長さはy’=xより
\(\displaystyle \int_0^a \sqrt{y’^2 +1}dx = \int_0^a \sqrt{x^2+1} dx \)である。
Cの長さを計算する。
\( x’=\cos{\theta}-\theta\sin{\theta} , y’=\sin{\theta}+\theta\cos{\theta} \)なので
\( x’^2+y’^2= (\cos{\theta}-\theta\sin{\theta})^2+(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta})^2 \\
=\cos^2{\theta} – 2\theta\sin{\theta}\cos{\theta} + \theta^2 \sin^2{\theta} + \sin^2{\theta} + 2\theta\sin{\theta}\cos{\theta}+ \theta^2 \cos^2{\theta} \\
=1+\theta^2 \)
よってCの長さは
\(\displaystyle \int_0^a \sqrt{x’^2 + y’^2 } d\theta = \int_0^a \sqrt{\theta^2+1} d\theta \)
となるから両者は等しい。

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