上野竜生です。数IIIの「微分」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。
解答上の注意
・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。
・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。
・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題は選択問題にしかありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。
解答用紙の記入の注意
空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください（下の例2参照）
例１： [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。
例２： \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。
例３： アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。
第1問 (25点)
(1) \(\displaystyle f(x)=x^4\cdot \sqrt{x} \)のとき\(\displaystyle f’(x)=\frac{[ア]}{[イ]}x^{[ウ]} \sqrt{x} \)
(2) \(\displaystyle f(x)=(3x^2+2)^5 \)のとき\(f’(x)=[エ]x(3x^2+2)^{[オ]}\)
(3) \(\displaystyle f(x)=\log_{x}{3} \)のとき2階微分\( f’’(x)=\displaystyle \frac{\log{[カ]}(\log{x}+[キ])}{x^{[ク]}(\log{x})^{[ケ]}} \)
(4) \(e^y + xy^2 =9 \)のとき\(\displaystyle \frac{dy}{dx} \)をyの式で表すと
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{y^{[コ]}}{ye^y - [サ]e^y + [シ]} \)
(5) \(y=f(x)\)の逆関数を\( g(x)=f^{-1}(x) \)とする。f(x)などの値が以下の表のとき
\(\displaystyle g’(2)=\frac{[ス]}{[セ]} , g’’(2)=\frac{[ソ]}{[タ]} \)である。
| f(1)=2 | f(2)=3 | f(3)=4 |
| f'(1)=6 | f'(2)=4 | f'(3)=2 |
| f''(1)=9 | f''(2)=2 | f''(3)=7 |
第2問(30点)
[A] \(f(x)=3x^3-36x-16 \)とする。f(x)=0は異なる3つの実数解をもつ。この3つの解を\(\alpha , \beta , \gamma \)とおくと \( f(x)= 3(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \cdots \)(*)とかける。
(1) (*)をxで微分するとどれになるか？[チ]
② \(3(x-\alpha)(x-\beta)+3(x-\beta)(x-\gamma)+3(x-\gamma)(x-\alpha)\)
③ \(3(x-\alpha)(x-\beta)+6(x-\beta)(x-\gamma)+3(x-\gamma)(x-\alpha)\)
④ \(3(x-\alpha)(x-\beta)+3(x-\beta)(x-\gamma)+6(x-\gamma)(x-\alpha)\)
(2) \(\displaystyle \frac{1}{\alpha+2} + \frac{1}{\beta+2} + \frac{1}{\gamma+2} =[ツ] \)
[B] \(\displaystyle g(x)=\frac{3x^3+2ax^2+(a^2-1)x+b}{x^2-c} \)とする。
y=g(x)はx=2が漸近線でx=0で極大値0をもつ。
(1) a=[テ] , b=[ト] ,c =[ナ] である。
(2) x=2以外の漸近線はx=[ニ]とy=[ヌ]x+[ネ]である。
(3) y=g(x)はx=0の0も含めて極値は全部で[ノ]個あり、それらの和は[ハ]である。
第3問(30点)
\( f(x)=\log{(x^2+16)} \)について考える。
(1) f(-x)=f(x)よりy=f(x)はy軸対称である。\(x\geq 0\)の部分のy=f(x)の増減表は下のようになる。
(2) 点(3,s)を通るy=f(x)の異なる接線の本数
第4問(15点)
関数f(x)は次の関係を満たすとする。
\(f’(0)=5,\)
\(f(x)f(y)+9xy+3x+3y=f(x+y)+3xf(y)+3yf(x)\)
(1) f(0)=[ぬ]である。
(2) f’(x)=[ね]x+[の]f(x)+[は]である。
(3) \( \displaystyle g(x)=\log{\left(f(x)-[は]x \right)}\)とおくとg’(x)=[ひ]である。
(4) \(f(7)=e^{[ふ]}+[へ]\)である。
解答用紙
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