2次曲線 定期試験対策(模擬試験)

上野竜生です。数IIIの「2次曲線」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。

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解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題はありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

第1問 (20点)

(1) y軸が準線で点(8,0)が焦点である放物線の方程式は\(x=[ア](y-[イ])^2\)である。

(2) 焦点が(1,1),(1,3)で漸近線のうちの1本がy=2xである双曲線の方程式は
\(\displaystyle (x-[ウ])^2-\frac{[エ]}{[オ]}(y-[カ])^2=\frac{[キ]}{[ク]}\)である。

(3) A(0,2),B(0,-2),C(3,2),P(x,y)とおいたとき三角形ABPの周の長さが三角形ABCの周の長さと同じになる点Pの軌跡をDとおく。点CにおけるDの接線の方程式は
\(\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}x+\frac{1}{[サ]}y=1\)である。

第2問 (10点)

A(3,0),B(0,4)とし\(y=2\sqrt{1-x^2} \)上を点Pが動くとき△ABPの最大値は[シ] 最小値は\([ス]-\sqrt{[セ]}\) である。

第3問 (30点)

双曲線C: \(x^2-y^2=-4\) と点A(0,1)を通る直線lについて考える。

(1) Cとlの共有点が1個となるような直線は全部で[ソ]本あり、その中でx軸との交点のx座標が最も大きい直線は\(\displaystyle y= -\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}x+1\)である。

(2) Cとlの共有点が2点P,Qとなるとき原点O(0,0),P,Qで成立する三角形の重心の軌跡は\( 3x^2-[ツ]y^2+[テ]y=0\)の\( y<[ト]\)または\(\displaystyle y>\frac{[ナ]}{[ニ]}\)の部分である。

第4問 (25点)

楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{36}=1 \)について考える。

(1) この楕円を原点中心に反時計回りにθ回転させてできる楕円の式は
\(\displaystyle ([ヌ]\cos^2{\theta}+[ネ])x^2 +[ノ]\sin{\theta}\cos{\theta}xy+([ヌ]\sin^2{\theta}+[ネ])y^2=36 \)である。

(2) (1)で求めた楕円のx座標の最大値と最小値の差は\(\displaystyle [ハ]\sqrt{[ヒ]\sin^2{\theta}+[フ]} \)である。

(3) もとの楕円に外接する長方形の面積の最大値は[ヘ],最小値は[ホ]である。

第5問 (15点)

球C\((x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1\)がある。点(0,0,3)の位置に点光源を置いたときxy平面上で球Cの影になる部分は\(\displaystyle (x-[マ])^2+\frac{[ミ]}{[ム]} y^2 \leq  [メ]\) でありその面積は\( [モ]\sqrt{[ヤ]} \pi\)である。

解答用紙

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