2変数2次式の最大最小の求め方

上野竜生です。制約条件がなく1変数にならないタイプの2変数2次式の最大・最小の求め方を紹介します。

2変数2次式の最大最小の求め方

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基本は平方完成するだけです!

2か所で平方完成して両方の( )2の中身が0になるところが最小という考えです。

例題1 x2+6x+2y2-4y+1について考える。
(1) x,yが実数全体を動くときの最小値を求めよ。
(2) -5≦x≦0 , -5≦y≦2のとき最大値と最小値を求めよ。
答えx2+6x+2y2-4y+1
=(x+3)2-9 + 2(y-1)2-2 +1
=(x+3)2+2(y-1)2-10
(1) 2乗の中身が0のとき,つまりx+3=0 かつ y-1=0のとき最小値をとるので
x=-3,y=1のとき最小値-10
(2) -5≦x≦0のとき 0≦(x+3)2≦9
-5≦y≦2のとき0≦2(y-1)2≦72なので
最大値はx=0 , y=-5のとき9+72-10=71
最小値はx=-3, y=1のとき-10
f(x,y)+g(x,y)の最小値は
一般にはf(x,y)の最小値+g(x,y)の最小値とは限りません。
なぜならf(x,y)が最小になる(x,y)とg(x,y)が最小になる(x,y)が異なれば最小にならないからです。しかしこのパターンではf(x,y)の最小はx=-3のとき(yは何でもよい),g(x,y)の最小はy=1のとき(xは何でもよい)なので
x=-3かつy=1なら両方同時に最小になります。
同時に最小になる(x,y)があればそのときf(x,y)+g(x,y)も最小になります。
たまたまですが(2)最小については(1)からすぐに言えます。
∵実数全体の最小値はx=-3,y=1のとき。これは(2)の制約条件の範囲内なので最小です。
もし(2)の制約条件の範囲外なら(2)の最小値はもっと大きくなります。

これでa(x-p)2+b(y-q)2+r=Ax2+Bx+Cy2+Dy+Eのタイプはできるようになりました。

しかし一般に2変数2次式とはax2+bxy+cy2+dx+ey+fのことなので「xy」の項が含まれている場合も考えなければなりません。次の例題は「xy」の項も含まれている場合です。

例題2 x2-2xy+2y2+6x-4y+1について
(1) x,yが実数全体を動くとき最小値を求めよ。
(2) -10≦x≦0 , -3≦y≦0のとき最大値と最小値を求めよ。

(2)に★がついているのは厳密には高校範囲から外れるので大学受験的には飛ばしてもいい発展的内容です。

まずは(1)から扱います。やはり2か所で平方完成します。

答え(1) x2-2xy+2y2+6x-4y+1
=x2+2(-y+3)x+2y2-4y+1 ←降べきの順に整理
={x+(-y+3)}2– (-y+3)2+2y2-4y+1 ←1か所平方完成
=(x-y+3)2 +y2+2y-8
=(x-y+3)2 + (y+1)2 – 9
よってx-y+3=0かつy+1=0のとき,つまりx=-4,y=-1のとき最小値-9

(2)については今回は最小値は簡単で(1)のx=-4,y=-1が(2)の範囲内なのでこれが最小です。最大についてはパターン1と同様にしようとしても-7≦x-y+3≦6 , -2≦y+1≦1より

x-y+3=-7かつy+1=-2のとき最大値44とはなりません

なぜならこのときx=-13,y=-3となりますがx=-13が範囲に入っていないからです。

このように両方の条件を満たす(x,y)が制約条件の範囲内にあるとは限らないのでもしそのような場合は別の方法で解かなければなりません。

これは大学に行ってから習いますがこのような場合の最大最小は

① 制約条件がない場合の最大最小(つまり(1)の答え)

② 境界上での最大最小

のどちらかになります。なので境界を1つ1つ調べていくことになります。

今回の境界は長方形なので4辺あり,4回調べないといけません。

答えf(x,y)=x2-2xy+2y2+6x-4y+1とおく。最小値・最大値の候補は(1)の答えまたは境界上での最大・最小であり最小値は(1)から明らかにx=-4,y=-1のとき-9。
最大値は境界上にある。4辺それぞれについて調べる。
ア)「x=-10, -3≦y≦0」のとき
f(-10,y)=100+20y+2y2-60-4y+1=2y2+16y+41=2(y+4)2+9
より-3≦y≦0での最大値はy=0のとき41
イ)「x=0, -3≦y≦0」のとき
f(0,y)=2y2-4y+1=2(y-1)2-1より最大値はy=-3のとき31
ウ)「y=-3, -10≦x≦0」のとき
f(x,-3)=x2+6x+18+6x+12+1=x2+12x+31=(x+6)2-5
より-10≦x≦0での最大値はx=0のとき31
エ)「y=0 , -10≦x≦0」のとき
f(x,0)=x2+6x+1=(x+3)2-8より最大値はx=-10で41
以上より最大値はx=-10,y=0のとき41

(1)の答え+境界4辺の候補の中で1番大きいのと1番小さいのをとれば求めることができます。

最後の(2)は理解できなくてもいいですがパターン2(1)まで理解しておきましょう。

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