2点間の距離・内分・外分する点の座標の求め方

上野竜生です。座標平面の基本となる距離・内分・外分の公式を理解しましょう。なおここで1次元~3次元まですべて扱います。

2点間の距離・内分・外分点の座標

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【復習】1次元のとき

点A(x1)とB(x2)の距離は|x1-x2|
AとBをm:nに内分する点の座標は\( \displaystyle \frac{nx_1 + mx_2}{m+n} \)
AとBをm:nに外分する点の座標は\( \displaystyle \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n} \)

2つ目の分子に注意です。mx1+nx2ではありません。たとえば100:1だったらほとんどBに近い。ということはB(x2)の成分のほうが大きいだろうな…ということから復元しましょう。
3つめの公式はm:nに外分=m:(-n)に内分 と覚えましょう。2つめの公式のnのところを(-n)におきかえただけです。

[2つ目の証明] x1<x2のときだけ示す。x1>x2のときも同様。

x1とx2をm:nに内分する点の座標を\( \alpha\)とおく。よって

\( (\alpha-x_1):(x_2-\alpha)=m:n \)

\( n(\alpha-x_1)=m(x_2-\alpha)\)

\( (m+n)\alpha=nx_1+mx_2 \)

あとは(m+n)で割れば求める式を得る。

[3つ目の証明] x1<x2かつm>nのときだけ示す。その他の時も同様。

x1とx2をm:nに外分する点の座標を\( \alpha\)とおく。m>nのとき\( x_1<x_2<\alpha \)である。よって

\( (\alpha-x_1):(\alpha-x_2)=m:n \)

\( n(\alpha-x_1)=m(\alpha-x_2)\)

\( (m-n)\alpha=-nx_1+mx_2 \)

あとは(m-n)で割れば求める式を得る。

2・3次元でも全く同様です。

2次元のとき

A(x1,y1), B(x2,y2)とする。
・A,Bの距離は\( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \)
・A,Bをm:nに内分する点の座標は\(\displaystyle \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n} \right) \)
・A,Bをm:nに外分する点の座標は\(\displaystyle \left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n} \right) \)

x座標,y座標それぞれで1次元の公式を使えばいいので覚えやすいでしょう。

[1つ目の証明] 三平方の定理より

\( \displaystyle \sqrt{|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \)

[2つ目・3つ目の証明] A:Bをm:nに内分すればx座標,y座標もm:nに内分されるので明らか。外分も同様。

3次元のとき

A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)とする。
・A,Bの距離は\( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \)
・A,Bをm:nに内分する点の座標は\(\displaystyle \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n} , \frac{nz_1+mz_2}{m+n} \right) \)
・A,Bをm:nに外分する点の座標は\(\displaystyle \left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n},\frac{-nz_1+mz_2}{m-n} \right) \)

全く同様です。1つ目の証明は三平方の定理を2回使います。
B'(x2,y2,z1)とするとAB’2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
△AB’Bも∠AB’B=90度の直角三角形だから三平方の定理より
AB2=AB’2+(z1-z2)2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2
1次元のときの距離の公式も
\( \sqrt{(x_1-x_2)^2}=|x_1-x_2| \)なので2・3次元と全く同じといえます。

公式を適用するだけですがいざ数字が入ってくるとどれを代入するか間違う人が出るので実際に計算してみましょう。

練習

O(0,0), A(5:2)とする。
(1) OAの長さを求めよ。
(2) OAを3:2に内分する点の座標を求めよ。
(3) OAを2:3に外分する点の座標を求めよ。
答え(1) OA=\( \sqrt{(0-5)^2+(0-2)^2}=\sqrt{29} \)
もちろん頭の中でわかっていればOA=\( \sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29} \)と略して書いてもOK。
(2) 求める座標は\( \displaystyle \left(\frac{2\cdot 0 + 3\cdot 5}{3+2} , \frac{2\cdot 0 + 3\cdot 2}{3+2}\right)=\left(3,\frac{6}{5} \right) \)
(3) 求める座標は\( \displaystyle \left(\frac{-2\cdot 0 + 3\cdot 5}{3-2} , \frac{-2\cdot 0 + 3\cdot 2}{3-2}\right)=(15,6) \)

A(1,5,-3) , B(5,-7,0)とする。
(1) ABの長さを求めよ。
(2) ABの中点の座標を求めよ。
(3) ABを4:1に外分する点の座標を求めよ。
答え(1) OA=
\(  \sqrt{(1-5)^2+\{5-(-7)\}^2+(-3-0)^2}=\sqrt{4^2+12^2+3^2}=\sqrt{169}=13 \)
(2) 1:1に内分なので求める座標は
\( \displaystyle \left(\frac{1+5}{2} , \frac{5-7}{2} , \frac{-3+0}{2}\right)=\left(3,-1 ,-\frac{3}{2} \right) \)
(3) 求める座標は
\( \displaystyle \left(\frac{-1\cdot 1 + 4\cdot 5}{4-1} , \frac{-1\cdot 5 + 4\cdot (-7)}{4-1},\frac{-1\cdot (-3) + 4\cdot 0}{4-1}\right)=\left( \frac{19}{3},-11,1\right) \)

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