ベクトル方程式(円の接線)

上野竜生です。今回は円の接線のベクトル方程式を紹介します。

ベクトル方程式(円の接線)

スポンサーリンク

基本

円の接線のベクトル方程式
この図で直線BPが円の接線であるとき次の2つが成り立つ。
AB⊥BP
ここからベクトル得られるベクトル方程式は
\(\vec{AB}\cdot \vec{BP}=0 \)・・・①
これは確かに円の接線のベクトル方程式として正しいのですが今回紹介したい考えは次の式でこちらのほうが重要です。
∠PAB=θとするとAPcosθ=AB
ここから内積の定義などを用いて次のベクトル方程式が得られる。
\(\vec{AB}\cdot \vec{AP}=r^2 \)・・・②(rは円の半径。特に一定値であることが重要)

①式は覚えなくてもすぐできると思いますが②式が重要なのでできれば覚えておきましょう。

練習1

①式から②式を導け。ただし\( r=|\vec{AB}| \)は用いてよい。

答え
\( \vec{AB}\cdot \vec{AB}=r^2 \)を①式の両辺に加えると
\(\vec{AB} \cdot (\vec{AB}+\vec{BP}) =r^2 \)
\(\vec{AB}+\vec{BP}=\vec{AP} \)なので求める式を得る。

②から①も同様に引き算すればよいので①と②は同値であることがわかりますね。

練習2

A(a,b)を中心とする半径rの円の円周上の点B(s,t)から接線をひく。接線上に点P(x,y)をとるときx,yのみたす関係式(つまり円の接線の方程式)を導け。

答え
②式を成分で表すだけ。
\(\vec{AB}=(s-a,t-b) , \vec{AP}=(x-a,y-b) \)なので
\(\vec{AB}\cdot \vec{AP}=r^2 \)に代入すると
\((s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)=r^2 \)

このように簡単に得られます。この結果も暗記しておくとよいですが細部を忘れがち(たとえば右辺の2乗が抜けたり右辺を0にしたり)なので忘れたとき復元できるようにしておきましょう。

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする