センター数学の裏技まとめ

上野竜生です。センター数学で使える裏技をまとめました。新センター試験までの数年しか使えないかもしれませんが数年でも使えたらいいと思うのでまとめてみます。

センター数学の裏技

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知っておいてほしいこと

・高校範囲で習わない公式などを使って一発で解けるタイプの裏技

→センター試験ではふつう出ません。出題者も当然公式を知っているので浪人生が有利で教科書のみで勉強した人が不利になるような問題にはならないように配慮するのが当然です。

・穴埋めの桁数などを使って解くタイプの裏技

→最近はこれも封じられつつあります。たとえば次の例題をご覧ください。

例題:x2-6x+7 (0<x<6)はx=(ア)で最小値(イウ)をとる。

答えxは実数なので本当はよくないがx=(ア)という形より1ケタの整数だから可能性はx=1,2,3,4,5しかなく,それらを代入すれば良い。

さらに最小値が2ケタとは考えにくいのでイは「マイナス」が入り,負の1ケタの整数と予想できる。

x=1のとき2

x=2のとき-1

x=3のとき-2

x=4のとき-1

x=5のとき2

よってx=3のとき最小値-2

このような方針が使えないよう,最近は分数の形(たとえば2x2-5x+7の最小値など)になってることが多いです。分数なら可能性はたくさんありますからね・・・

ですが,まだ使える可能性はあるので知っておいてもよいでしょう。

図形問題に関すること

方法1: それっぽい図を書いて予想する

これも最近は分数の形になってることが多いのですがたまに長さが整数値のときもあり,この場合は2よりは大きそうだけど4よりは小さそう・・・だから3

というような考え方が使えます。

方法2:座標平面で考える

計算量は多くなりますが,基本的に確実に解けます。他の問題は解いてたくさん時間が余ってるときは数IIの知識でも解けるということになります。どうしても満点をとりたいときや前半で躓き大問1個丸ごと0点を回避したい時などに使える技です。

使用頻度は低いので例題での解説は割愛しますが問題文で単に点A,B・・・とかいているだけのものにとりあえずA(1,0) , B(a,b)・・・とおいてa,bの式を立てて求めていく感じです。

関数に関すること

最大・最小は極値の候補か境界しかありえない

これは裏技というほどでもありませんが知っておくとよいでしょう。場合によっては増減表を書かずに求められるかもしれません。2次関数の極値の候補は軸上の点のことです(普通は平方完成しますがもちろん微分でも求められますね)。

例題:x3-2x2+x(-1≦x≦1)は\( x=\frac{(ア)}{(イ)}\)で最大値\( \frac{(ウ)}{(エオ)}\)をとり,x=(カキ)で最小値(クケ)をとる。

答え微分すると3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)

よって極値の候補は\( x=\frac{1}{3} ,1\)

境界はx=-1,1だから解答欄の形からア/イ=1/3しかない。

あとは\(x=\frac{1}{3}\)を代入するとウ/エオ=4/27

最小値をとるxは整数なので-1,0,1だが2文字になっているのでx=-1・・・(カキ)

あとはx=-1を代入すれば(クケ)=-4

ここまで短時間で気づくかは別として,本来書くべき増減表の時間を省けます。センターでは増減表をうめるより3次関数のだいたいのグラフをイメージして答えるとよいでしょう。

ちなみにこれは数学的知識を使った裏技でも解けます。

答え\(x=\frac{1}{3}\)が極値の候補なので3乗の係数が正であることから3次関数をイメージすれば\( x=\frac{1}{3} \)で極大,x=1で極小であることがわかる。よって定義域から最大値は\( x=\frac{1}{3}\)のときしかない。

最小値は定義域だけでは境界x=-1のときか極小x=1のときかわからない。

しかし,この事実を知っていればf(1)=f(0)であることがわかりf(0)>f(-1)とわかるのでx=-1のとき最小値をとる。

3次関数の性質を知っていれば増減表がいらなくなる例

数列に関すること

n=1,2,3,・・・を代入しよう!

数列の問題ではふつう係数のみが問われることになります。ある程度形がわかっているのならn=1,2,・・・を代入して連立方程式に持ち込むこともできますね。

例題:a1=3,an+1=2an-1の一般解はan=(ア)n+(イ)である。

答え2つの空欄を埋めるから2つ連立させればよい。

漸化式よりa2=5である。あとはn=1,2を代入すると

a1=ア+イ=3

a2=ア2+イ=5

よってa2-a1=ア2-ア=2

ア=-1,2 空欄は1文字だからア=2

よってイ=1

このぐらいなら正攻法でも解けますが大問の最後のほうの複雑な数列でもこのやり方でかなり解けます。指数部分が空欄になっていることもありますが2,3,4・・・と確かめればいいでしょう。(特にn(空欄)+n2+3nのようにn2の項が出ていれば指数は3から代入する・・・などの方法でいいと思います。)

いかがでしたか。正攻法ではなく裏技は封印傾向なのであまり具体的な練習はしなくていいでしょう。

新センターではこういう解法を使えないように配慮されてる!?

試行調査の問題が発表されているので確認してみましたが数学も大幅な変更が加えられています。これを見る限り今までの裏技はほとんど役に立たなくなったと考えても良いでしょう。

たとえば数列だと今までのような係数を穴埋めにするのではなく数列の結果から当てはまるものを選ぶ形式になっています。

先ほどのan=2n+1の例であればその一般項を答えるのではなくここから
①anはつねに100以下である
②anはn≦6ならば100以下だがn≧7で100以上になる
③anはつねに100以上である

・・・などから正しいのを選ぶといった感じでしょうか。今までのような無限にあった選択肢から5択程度になるので数学が全く分からない人にはラッキーかもしれませんが解いた後のひと手間がある分少し厄介になってますし,裏技的解法は非常に難しい(かえって遠回りになる)と考えられます。

(今の具体例だと漸化式からa3=…,a4=…と出してもできそうですが選択肢の工夫次第でそのやり方が時間ロスにさせることができます)

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