三角形の面積の求め方まとめ

上野竜生です。三角形の面積を求める公式はたくさんあります。大学受験の範囲で使えそうなものをいくつかまとめました。

三角形の面積求め方集

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パターン1(基本):底辺×高さ÷2

当たり前ですね。ただし「底辺」「高さ」をどう見るかによっていろいろな解釈ができます。

パターン2(応用):面積比で解く

三角形の面積参考図
平行な直線なら面積が等しくなります。(BCを底辺としたときの「高さ」が等しいため)
これを利用して解く問題もあります。
台形ABCDがあり,ABとCDが平行である。AB=2,CD=3で台形の「高さ(AからCDにおろした垂線の長さ)」は5である。2つの対角線の交点をEとするとき△BEDの面積は?

ちなみにA,B,C,Dの配置は
三角形の面積の求め方例題
だと思ってください。

まず三角形ABDの面積は底辺ABとすると2×5÷2=5です。

次に相似比を考えるとAE:ED=2:3なので「底辺」をADとみると「高さ」は共通だから△BEDの面積は5×(3/5)=3と求まります。

このパターンは中学生でもできますね。

パターン3:xy座標で与えられた場合

(0,0),(a,b),(c,d)を頂点とする三角形の面積は\( \frac{1}{2}|ad-bc| \)

を使えば出せます。

例題:(1,2),(3,4),(5,7)を頂点とする三角形の面積はいくらか?

1つが頂点となるように平行移動すると(0,0),(2,2),(4,5)となるので面積は

\( \frac{1}{2}|2\cdot 5 – 2\cdot 4|=1 \)

と求まります。

パターン4:三角関数がわかる場合

2辺がa,bでその間の角がθである三角形の面積は\( \frac{1}{2}ab \sin{\theta} \)

を使いましょう。

例題:3辺の長さが5,7,8である三角形の面積はいくらか?

5と8の間の角をθとすると余弦定理より

\(\displaystyle  \cos{\theta} = \frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5 \cdot 8}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2} \)
三角形の面積の求め方例題画像2

三角関数の相互関係より\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{ \sqrt{3} } {2} \)

よって面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=10\sqrt{3} \)

と求めることができます。

ところで三辺の長さがわかっている場合はヘロンの公式も使えますが使用頻度が低く間違えやすいので使うように指定されていない限り使わなくていいでしょう。

ヘロンの公式
三辺の長さがa,b,cである三角形の面積は
\( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
で表される。ただし\( s=\frac{a+b+c}{2} \)

間違えやすいのは1/2をかけてしまうのとs=(a+b+c)/3とする間違いが多いです。なので極力使用しないほうがいいです。

パターン5:ベクトルの場合

2次元ベクトルで成分が与えられている場合パターン3のように出せますが,ベクトルの大きさと内積が与えられた場合も面積は出せます。

\( \vec{OA} \)と\( \vec{OB} \)が与えられた場合三角形OABの面積は
\( \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{OA}|^2 \cdot |\vec{OB}|^2 – (\vec{OA} \cdot \vec{OB})^2} \)

\( \vec{OA} \)と\( \vec{OB} \)の内積が\( | \vec{OA}|\cdot | \vec{OB} | \cdot \cos{\theta} \)で表されることから明らかでしょう。この方法は3次元ベクトルでも使えます。

パターン6:放物線と接線

最高次の係数がaである放物線上の点A,Bから接線をひき,その交点をCとする。またA,Bのx座標を\(\alpha,\beta\)とする。このとき三角形ABCの面積は\( \frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3 \)である。

三角形の面積参考図2

検算に使えます。知っておいて損はないでしょう。記述式ではこの公式を使わないで書きましょう。あまり知られてないというか証明なしで使うと減点になりやすいです。時間がなければ使うのもしょうがないでしょう・・・

パターン7:四平方の定理

正式名称ではないようですが三平方の定理の拡張です。まず使うことはないと思うので軽く説明します。

三角錐OABCで∠AOB=∠BOC=∠COA=90°とする。△OABの面積をS1,△OBCの面積をS2,△OCAの面積をS3,△ABCの面積をSとすると次が成り立つ。
\( S^2=S1^2+S2^2+S3^2 \)

四平方の定理

証明は三平方の定理を駆使します。あるいはパターン5の方法でも証明できます。

受験生はとりあえずパターン5まで知っておきましょう。センターなど記述式がない場合パターン6も知っていていいでしょう。

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