上野竜生です。今回は等差数列について紹介します。そもそも数列というものを定義してませんのでここで定義することにします。

数列とは?

a1,a2,・・・,anを数としたときの列a1,a2,・・・,an数列といい,{an}で表します。
それぞれの値a1,a2,・・・をといい、an第n項,特にa1初項といいます。
一般のnに対してanを求めることを一般項を求めるといいます。
項の個数が有限の数列は有限数列とよぶ。このとき「最後の項」が存在する。この「最後の項」のことを末項とよぶ。
項の個数が無限の数列は無限数列とよぶ。このとき末項は存在しない。

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等差数列とは?

差が等しい数列のこと。正確にはan+1-anがnによらず一定の値dになる数列のこと。このときの差dを公差とよぶ。

たとえば「1,2,3,2,3,2,1,2,3,4,5,4」などは確かに「差」は等しいかもしれませんがこういうのは普通等差数列とはいいません。

等差数列は初項a1と公差dがわかれば一般項は容易に求まる。
an=a1+(n-1)d
an=a1+ndと間違えないように注意!n=1のとき両辺が一致するか確認すれば明らかですね。

等差数列の和

初項をa,公差dで項数nの数列{an}の和Snを求めたい

等差数列の和
上のように初項から順番に足したものと,末項から順番に足したものを並べて書くとその和はきれいにかけ算の形で書ける。この図から
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) \)

特に項数がnだから末項はan=a+(n-1)dと書けることを利用すると等差数列の和は
(初項+末項)×項数÷2
で計算できる。
たとえば10から20までの整数の和を計算するなら初項10,末項20,項数11(公差は1)の等差数列の和だから
(10+20)×11÷2=165
と計算できる。

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例題1

a2=100,a7=70である等差数列{an}について以下の問に答えよ。
(1)一般項を求めよ。
(2)22は第何項めか?
(3)初項から第n項までの和を求めよ。
(4)第10項めから第n項までの和が最大となるような自然数n(≧11)の値と,そのときの最大値を求めよ。
答え(1)等差数列だから公差をdとおくと一般項は
an=a1+(n-1)dとおける。
a2=a1+d=100
a7=a1+6d=70
よりd=-6,a1=106
よって一般項はan=106-6(n-1)=112-6n
(2)an=112-6n=22よりn=15
(3)初項106,末項112-6n,項数nの等差数列の和は
(106+112-6n)×n÷2=n(109-3n)
(4)解1 和をnの式で表す
第10項めからn項までの項数はn-9でありa10=52だから和は
(52+112-6n)×(n-9)÷2=(82-3n)(n-9)
最大値を求める
\( (82-3n)(n-9)=-3n^2+109n-738 \\ =\displaystyle -3(n-\frac{109}{6})^n +3\cdot \frac{109^2}{6^2}-738 \)
\(n=\frac{109}{6}\)のとき最大だが,2次関数であることとnは整数だから最も近い整数であるn=18のときに最大となる。
よってそのときの最大値は
(82-3・18)(18-9)=28・9=252
解2 an>0を求める
an=112-6n>0を満たす整数nはn≦18でありn≧19のときはan<0である。
正の値を足すと和は大きくなり,負の値を足すと和は小さくなるから
第10項から第n項までの和をSnとすると
S11<S12<・・・<S17<S18>S19>S20>・・・
となる。よって最大となるときのnの値はn=18
このときの最大値は
初項a10=52,末項a18=4,項数9の等差数列の和より
(52+4)×9÷2=252
解1よりも解2のほうが推奨です。単調減少する数列だとわかっていれば無駄な計算がかなり省けるためです。

等差数列は余りと密接な関係あり!

等差数列はan=a1+(n-1)dであるからa1,dが整数のときanをdで割った余りはnの値によらずa1をdで割った余りに等しい。つまり
等差数列とは「余りが一定」と解釈できる。
たとえば7で割った余りが3になる自然数を小さい順に並べると
3,10,17,24,・・・でこれは初項が3,公差が7の等差数列と同じである。
これを用いた応用問題も作れる。

例題2

初項1,公差6の等差数列{an}と,初項99,公差8の等差数列{bn}がある。{an}と{bn}の共通項を小さい順に並べた数列を{cn}とする。cnの一般項を求めよ。
答えanは6で割って余りが1になる1以上の整数である。
bnは8で割って余りが3になる99以上の整数である。
よって共通するのは24で割ったあまりが19になる数であり,99以上であることに注意すると初項は24×4+19=115
よってcnは初項115,公差24の等差数列であり
cn=115+24(n-1)=24n+91

等差数列と等差数列の共通項をとる問題は少ないですが次の「等比数列」と等差数列の共通項をとる問題はたまに見かけます。余りに着目するということを覚えておきましょう。

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